（2）若DC=2，求BC．
【考点】HT：三角形中的几何计算． 【分析】（1）由正弦定理得出cos∠ADB；
（2）由∠ADC=90°，得cos∠BDC=sin∠ADB=，再由DC=2
，利用余弦定理
=
，求出sin∠ADB=
，由此能求
能求出BC．
【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5． ∴由正弦定理得：=，即
=
，
∴sin∠ADB=
=
，
∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A， ∴cos∠ADB=
=
．
（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，
∵DC=2，
∴BC=
=
=5．
18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF． （1）证明：平面PEF⊥平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
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DF
【考点】LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．
【分析】（1）利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF，然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可．
（2）利用等体积法可求出点P到面ABCD的距离，进而求出线面角． 【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点， 则
，
，
由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC． 由于PF⊥BF，EF∩PF=F，则BF⊥平面PEF．
又因为BF?平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD． （2）在平面DEF中，过P作PH⊥EF于点H，连接DH， 由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF， 则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．
在三棱锥P﹣DEF中，可以利用等体积法求PH， 因为DE∥BF且PF⊥BF， 所以PF⊥DE，
又因为△PDF≌△CDF， 所以∠FPD=∠FCD=90°， 所以PF⊥PD，
由于DE∩PD=D，则PF⊥平面PDE， 故VF﹣PDE=
，
因为BF∥DA且BF⊥面PEF， 所以DA⊥面PEF， 所以DE⊥EP．
设正方形边长为2a，则PD=2a，DE=a
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在△PDE中，所以故VF﹣PDE=又因为所以PH=
=， ，
，
， ，
=
，
．
所以在△PHD中，sin∠PDH=
即∠PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：
19．（12分）设椭圆C：
+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两
点，点M的坐标为（2，0）．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB． 【考点】KL：直线与椭圆的综合．
【分析】（1）先得到F的坐标，再求出点A的方程，根据两点式可得直线方程， （2）分三种情况讨论，根据直线斜率的问题，以及韦达定理，即可证明． 【解答】解：（1）c=∴F（1，0）， ∵l与x轴垂直， ∴x=1，
=1，
由，解得或，
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∴A（1.），或（1，﹣）， x+
，y=
x﹣
，
∴直线AM的方程为y=﹣
证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB， 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x﹣1），k≠0， A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＜
，x2＜
，
+
，
直线MA，MB的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB=
由y1=kx1﹣k，y2=kx2﹣k得kMA+kMB=将y=k（x﹣1）代入∴x1+x2=
，x1x2=
，
+y2=1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
，
（4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k）=0
∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k=从而kMA+kMB=0，
故MA，MB的倾斜角互补， ∴∠OMA=∠OMB， 综上∠OMA=∠OMB．
20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p0．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则
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工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（1）求出
f（p）==
能求出f （p）的最大值点p0=0.1．
（2）（i）由p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），再由X=20×2+25Y，即X=40+25Y，能求出E（X）．
（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，E（X）=490＞400，从而应该对余下的产品进行检验．
【解答】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p）， 则f（p）=∴
令f′（p）=0，得p=0.1，
当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0， 当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0， ∴f （p）的最大值点p0=0.1． （2）（i）由（1）知p=0.1，
令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1）， X=20×2+25Y，即X=40+25Y，
∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25×180×0.1=490．
（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元， ∵E（X）=490＞400，
∴应该对余下的产品进行检验．
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，则
，利用导数性质
，
=
，
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