5.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(a,b)和实数k(k>0),给出如下定义:当ka+b>0时,将以点P为圆心,ka+b为半径的圆,称为点P的k倍相关圆.
例如,在如图1中,点P(1,1)的1倍相关圆为以点P为圆心,2为半径的圆.
(1)在点P1(2,1),P2(1,﹣3)中,存在1倍相关圆的点是 P1 ,该点的1倍相关圆半径为 3 .
(2)如图2,若M是x轴正半轴上的动点,点N在第一象限内,且满足∠MON=30°,判断直线ON与点M的倍相关圆的位置关系,并证明.
(3)如图3,已知点A的(0,3),B(1,m),反比例函数y=的图象经过点B,直线
l与直线AB关于y轴对称.
①若点C在直线l上,则点C的3倍相关圆的半径为 3 .
②点D在直线AB上,点D的倍相关圆的半径为R,若点D在运动过程中,以点D为圆心,hR为半径的圆与反比例函数y=的图象最多有两个公共点,直接写出h的最大值.
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解:(1)由题意知,k=1, 针对于P1(2,1),a=2,b=1, ∴ka+b=2+1=3>0,
∴点P1(2,1)的1倍相关圆为以点P为圆心,3为半径的圆, 针对于P2(1,﹣3),a=1,b=﹣3, ∴ka+b=1﹣3=﹣2<0,
∴点P2(1,﹣3)不存在1倍相关圆 故答案为:P1;3;
(2)如图2中,结论:直线ON与点M的倍相关圆的位置关系是相切.
理由:设点M的坐标为(n,0),过M点作MP⊥ON于点P,
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∴点M的倍相关圆半径为n. ∴OM=n.
∵MP⊥ON,∴∠OPM=90°,∵∠MON=30°, ∴MP=OM=n,
∴点M的倍相关圆的半径为MP, ∴直线ON与点M的倍相关圆相切;
(3)①如图3中,记直线AB与x轴的交点为E,直线l与x轴的交点为F,
∵B(1,m)在反比例函数y=的图象上, ∴m=6, ∴B(1,6) ∵A(0,3),
∴直线AB的解析式为y=3x+3,令y=0,则3x+3=0, ∴x=﹣1, ∴E(﹣1,0),
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∵直线l是直线AB关于y轴对称, ∴点F与点E关于y轴对称, ∴F(1,0),
∴直线l的解析式为y=﹣3x+3, ∵点C在直线l上,
∴设C(c,﹣3c+3),由题意知,k=3, ∴3c+(﹣3c+3)=3,
∴点C的3倍相关圆的半径是3, 故答案为:3;
②∵点D在直线AB上,设D(d,3d+3),由题意知,k=, ∴R=d+(3d+3)=∴d>﹣
.
d+3>0,
6.如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于A,B两点,与反比例函数y=
的图象交于点M,且B为AM的中点.
的表达式;
图象于点C,连接MC,AC.求
(1)求反比例函数y=
(2)过B做x轴的平行线,交反比例函数y=△AMC的面积.
解:(1)过点M作MH⊥y轴,垂足为H. ∵AB=MB,∠MHB=∠AOB,∠MBH=∠ABO, ∴△ABO≌△MBH(AAS),
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∴BH=BO,MH=AO,
∵直线y=2x+2与x轴,y轴分别交于A,B两点, ∴当y=0时,x=﹣1.当x=0时,y=2. ∴A(﹣1,0),B(0,2). ∴BH=BO=2,MH=AO=1. ∴M(1,4). 把M(1,4)代入
中,得k=4.
.
∴反比例函数的解析式为(2)∵AB=BM, ∴S△ABC=S△BCM.
∵点C在反比例函数图象上,且BC∥x轴, ∴点C纵坐标为2. 把y=2代入
,得x=2.
∴点C坐标为(2,2), ∴
∴S△AMC=4.
,
7.已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,2),正方形OABC的顶点B在函数y=(k≠0,x<0)的图象上,直线l:y=﹣x+b与函数y=(k≠0,x<0)的图象交于点D,与x轴交于点E. (1)求k的值;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.
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