高三二轮复习数学微专题 - 含参数函数的单调性 

微专题--- 含参数函数的单调性

【问题背景】

函数是高中数学的核心模块，单调性是函数性质中的重点内容，含有参数的函数单调性问题是近几年高考的热点之一．此类问题知识覆盖面广，能力要求较高，具有相当的难度和深度，能有效考查学生的逻辑思维能力．

高考命题方向：高考对函数单调性的考查方法灵活，既有函数单调性的判断、单调区间的求法，又有利用函数单调性解不等式、比较大小、求最值等尤其是函数单调性的研究以及函数单调性与最值的综合应用问题能较好地考查转化与化归思想及逻辑推理能力，是高考命题的热点之一． 【思维模型】

说明：

1．解决方案及流程

解决函数的单调性问题通常有四种方法： ①利用函数单调性的定义； ②利用复合函数的单调性； ③利用导数研究函数的单调性； ④利用图象研究函数的单调性． 2 ．失误与防范 ①忽略函数的定义域；

②缺乏整体意识，不能根据每一段的单调性整理函数在全区间上的单调性； ③分类讨论较乱，标准不确定；

④出现多个相同单调性的单调区间时，错误地使用“【问题解决】 一、典型例题

”连接．

例1 f(x)?ax?1(a?1)在（－2，+∞）上的单调性。

x?22解：利用函数单调性的定义

设x1、x2为区间（－2，+∞）上的任意两个值，且x1＜x2，则

（fx1）－（fx2）=

ax1?1ax2?1(ax1?1)(x2?2)?(ax2?1)(x1?2)(x2?x1)(1?2a)?== x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)(x1?2)(x2?2)∵x1∈（－2，+∞），x2∈（－2，+∞）且x1＜x2， ∴x2－x1＞0，x1+2＞0，x2+2＞0 ∴当1－2a＞0，即a＜当1－2a＜0，即a＞

1时，f（x1）＞f（x2），该函数在 减函数； （-2，+?）21时，f（x1）＜f（x2），该函数在为增函数 （-2，+?）232//例2 a，b是实数，函数f(x)?x?ax，g(x)?x?bx，f(x)和g(x)分别是f(x)，

g(x)的导函数，若f/(x)g/(x)?0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调

性一致．

（1）设a?0，若函数f(x)和g(x)在区间[?1,??)上单调性一致，求实数b的取值范围； （2）设a?0且a?b，若函数f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求

|a?b|的最大值．

解：利用导数研究函数的单调性

已知，f?(x)?3x2?a,g?(x)?2x?b,a,b?R

⑴由题设“单调性一致”定义知，f '(x)g'(x)?0在区间[－1,+?)上恒成立， （3x2?a）(2x?b)?0 在区间[－1,+?)上恒成立， 即，

因a>0，所以，3x2?a?0，所以，2x+b?0在区间[－1,+?)上恒成立，

即，b?－2x在区间[－1,+?)上恒成立，而y=－2x在[－1,+?)上最大值ymax??2(?1)?2， 所以，b?2，即b?[2,+?)；

⑵由“单调性一致”定义知，f '(x)g'(x)?0在以a，b为端点的开区间上恒成立， （3x2?a）(2x?b)?0在以a，b为端点的开区间上恒成立， 即，

aab（3x2?a）(2x?b)?0，得x1???,x2??,x3??； 因a<0，所以，由

332确定分类讨论的标准

①若b>0，则开区间为(a,b)，取x=0，由f '(0)g'(0)=ab<0知，f(x)和g(x)在区间(a,b)上单调性不一致，不符合题设；

②若b?0，因x2,x3均为非负，故不在以a，b为端点的开区间内；所以，只有x1在区间上； 由f '(x)g'(x)?0在以a，b为端点的区间上恒成立，知x1???要么不大于a，b中的小者；

因为a，b都不大于0，所以，(2x+b)?0，所以，由f '(x)g'(x)?0知3x2?a?0 ， 所以??a?x?0 ； 3a要么不小于a，b中的大者，3分层分类 当0?a?b???a时，由f '(x)g'(x)?0在区间(b,a)上恒成立， 3（3x2?a）(2x?b)?0在区间(b,a)上恒成立， 即

知|a－b|最大值为|a??此时，|a??1aa| ，而由a??? 解得a>－；

333a32|?|?（?a）??a|，配方后知，取不到最大值； 33当0?b?a???1aa时，显然，此时，当b=0，a???，即b=0，a=－时，

33311

|a－b|取得最大值|0－(－)|=；

33得到结论

1

综上，|a－b|的最大值为．

3二、自主探究 1．“a?0答案：充要

2．若函数f(x)?cos2x?asinx在区间?答案：???,2?

3．若函数f(x)?2x?lnx在其定义域的一个子区间?k?1,k?1?上不是单调函数，则实

2”是“函数f(x)??ax?1?x在区间?0,???内单调递增”的 条件．

????,?上是减函数，则a的取值范围是 ． ?62?数k的取值范围是 ．

答案：?1,?3?? ?2?2*）4．已知a?0,f(x)?ax?2x?1?ln(x?1,证明对任意的a?n(n?N),函数

y?f(x)总存在单调递减区间,并求出f(x)单调递减区间的长度的取值范围(区间[x1,x2]的长度=x2?x1)

解：利用导数研究函数的单调性

2ax2?(2a?2)x?1f(x)?;∵x??1,

x?1'∴f(x)?0等价于k(x)?2ax2?(2a?2)x?1?0

∵??(2a?2)?8a?4(a?1)?0, 对称轴x??22'2a?211?????1,k(?1)?2a?(2a?2)?1?1?0,∴k(x)?04a22a有解x1,x2,其中?1?x1?x2

∴当x?(x1,x2)时,f(x)?0所以y?f(x)的减区间为[x1,x2]， 且x2?x1?'(x2?x1)2?4x2x1?(?2a?2211)?4??1?2 2a2aa11?1??2 ． n212*当a?n(n?N)时,区间长度x2?x1?1?∴减区间长度x2?x1的取值范围为(1,2]．