专题九 解析几何
第二十八讲 抛物线
2019年
1.（2019全国II理8）若抛物线y=2px(p>0)的焦点是椭圆
2
x23p?y2p?1的一个焦点，则p=
A．2 B．3 C．4 D．8
2.（2019北京理18（1））已知抛物线C:x2??2py经过点(2，-1).求抛物线C的方程及其准线方程；
3．（2019全国I理19）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为B，与x轴的交点为P． （1）若
3的直线l与C的交点为A，2AF?BF?4，求l的方程；
uuuruur（2）若AP?3PB，求AB．
1x24. （2019全国III理21）已知曲线C：y=，D为直线y=?上的动点，过D作C的两
22条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，ADBE的面积.
5)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形22010-2018年
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅰ)设抛物线C：y?4x的焦点为F，过点(?2,0)且斜率为交于M，N两点，则FM?FN= A．5
B．6
C．7 D．8
222的直线与C32．（2017新课标Ⅰ）已知F为抛物线C：y?4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，
l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|?|DE|的最
小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
3．(2016年四川)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y?2px(p?0)上任意一点，
2M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为
A．322 B． C． D．1 3234．(2016年全国I)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为 A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2015浙江）如图，设抛物线y?4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C，其中点A,B在抛物线上，点C在y轴上，则?BCF与?ACF的面积之比是
2
A．
BF?1AF?1 B．
BF?1AF?1222 C．
BF?1AF?1 D．
BF?1AF?1222
226．（2015四川）设直线l与抛物线y?4x相交于A,B两点，与圆?x?5??y?r?r?0?相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是 A．?1，3? B．?1，4? C．?2，3? D．?2，4?
7．（2014新课标1）已知抛物线C：y?8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，若FP?4FQ，则|QF|= A．
275 B． C．3 D．2 228．（2014新课标2）设F为抛物线C：y2?3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于
A,B两点，O 为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A．3393 C．63 D．9
B．4328429．（2014辽宁）已知点A(?2,3)在抛物线C：y?2px的准线上，过点A的直线与C在第
一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ） A．
1234 B． C． D． 2343210．（2013新课标1）O为坐标原点，F为抛物线C:y?42x的焦点，P为C上一点，
若|PF|?42，则?POF的面积为（ ） A．2
B．22
C．23 2
D．4
11．（2013江西）已知点A?2,0?，抛物线C:x?4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相
交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|:|MN|= A．2:5 B．1:2 C．1:
5 D．1:3
212．（2012新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y?16x的准线交于A、B两点，|AB|?43，则C的实轴长为 A、2
B、22
C、4
D、8
x2y213．（2012山东）已知双曲线C1：2?2?1(a?0,b?0)的离心率为2．若抛物线
abC2:x2?2py(p?0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 A．x2?83163y B．x2?y C．x2?8y D．x2?16y 3314．（2011新课标）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，
B两点，|AB|?12，P为C的准线上一点，则?ABP的面积为
A．18 B．24 C．36 D．48 二、填空题
15．(2018全国卷Ⅲ)已知点M(?1,1)和抛物线C：y?4x，过C的焦点且斜率为k的直
线与C交于A，B两点．若?AMB?90，则k?______．
16．（2017新课标Ⅱ）已知F是抛物线C：y?8x的焦点，M是C上一点，FM的延长
22
线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|? ．
2217．（2015陕西）若抛物线y?2px(p?0)的准线经过双曲线x?y?1的一个焦点，则
2p= 18．（2014湖南）如图4，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a?b)，原点
bO为AD的中点，抛物线y2?2px(p?0)经过C,F两点，则? ．
a
19．（2013北京）若抛物线y?2px的焦点坐标为(1,0)，则p? ，准线方程为 ． 20．（2012陕西）右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水
位下降1米后，水面宽 米．
2
21．（2010浙江）设抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_____________． 三、解答题
22．（2018北京）已知抛物线C：y?2px经过点P(1,2)．过点Q(0,1)的直线l与抛物线
22C 有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
(1)求直线l的斜率的取值范围；
(2)设O为原点，QM??QO，QN??QO，求证：
1??1?为定值．
23．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线C：y?4x的焦点为F，过F且斜率为k(k?0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|?8．
2
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