三角函数、解三角形、平面向量
1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)?α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．
任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P(x，y)是α的终边上的任意一点(异于原点)，yxy
它与原点的距离是r＝x2＋y2>0，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)，三角函数值只与
rrx角的大小有关，而与终边上点P的位置无关．
[问题1] 已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 1
答案 －
5
2．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. sin α
(2)商数关系：tan α＝.
cos α
(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限
sin cos [问题2] cos 答案
－α －sin α cos α π－α sin α －cos α π＋α －sin α －cos α 2π－α －sin α cos α π－α 2cos α sin α 7π9π－?＋sin 21π的值为___________________________． ＋tan??6?4
23
－ 23
3．三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；
π
(2)对称轴：y＝sin x，x＝kπ＋，k∈Z；y＝cos x，x＝kπ，k∈Z；
2
πkπ
kπ＋，0?，k∈Z；y＝tan x，?，0?，k∈Z. 对称中心：y＝sin x，(kπ，0)，k∈Z；y＝cos x，?2???2?(3)单调区间：
ππ
－＋2kπ，＋2kπ? (k∈Z)， y＝sin x的增区间：?2?2?π3π
＋2kπ，＋2kπ? (k∈Z)； 减区间：?2?2?
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y＝cos x的增区间：[－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z)， 减区间：[2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)；
ππ
－＋kπ，＋kπ? (k∈Z)． y＝tan x的增区间：?2?2?(4)周期性与奇偶性：
y＝sin x的最小正周期为2π，为奇函数；y＝cos x的最小正周期为2π，为偶函数；y＝tan x的最小正周期为π，为奇函数．
易错警示：求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2kπ，或＋kπ等，忘掉写k∈Z；
π
0，?. (3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为??2?π
－2x＋?的递减区间是________． [问题3] 函数y＝sin?3??π5
kπ－，kπ＋π?(k∈Z) 答案 ?1212??
4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→sin 2α＝2sin αcos α.
cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β――→cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan α±tan β
tan(α±β)＝.
1?tan αtan β
1＋cos 2α1－cos 2α2tan α
cos2α＝，sin2α＝，tan 2α＝. 221－tan2α在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， 1
α＝[(α＋β)＋(α－β)]．
2
ππππ
β－?，α＝?α＋?－. α＋＝(α＋β)－??4??4?44
3π?π12π3
，π，sin(α＋β)＝－，sin?β－?＝，则cos?α＋?＝________. [问题4] 已知α，β∈??4??4?13?4?556
答案 －
655．解三角形
abc
(1)正弦定理：＝＝＝2R(R为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变
sin Asin Bsin Cabc
式：(ⅰ)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(ⅱ)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(ⅲ)a＝2Rsin A，
2R2R2R
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令α＝β令α＝β
b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC中A>B?sin A>sin B.
b2＋c2－a2
(2)余弦定理：a＝b＋c－2bccos A，cos A＝等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状．
2bc
2
2
2
[问题5] 在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝60°，则B＝________. 答案 45°
6．向量的平行与垂直
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，则a∥b?b＝λa?x1y2－x2y1＝0. a⊥b (a≠0)?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．
[问题6] 下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.其中正确命题是________． 答案 ④ 7．向量的数量积 |a|2＝a2＝a·a，
a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2， x1x2＋y1y2a·bcos θ＝＝2222，
|a||b|x1＋y1x2＋y2
a·bx1x2＋y1y2
a在b上的投影＝|a|cos〈a，b〉＝＝2. |b|x2＋y22注意：〈a，b〉为锐角?a·b>0且a、b不同向； 〈a，b〉为直角?a·b＝0且a、b≠0； 〈a，b〉为钝角?a·b<0且a、b不反向．
易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．
[问题7] 已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影为________． 答案
12
5
8．当a·b＝0时，不一定得到a⊥b，当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)c与a(b·c)不一定相等，(a·b)c与c平行，而a(b·c)与a平行．
[问题8] 下列各命题：①若a·b＝0，则a、b中至少有一个为0；②若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；③对任意向量a、b、c，有(a·b)c≠a(b·c)；④对任一向量a，有a2＝|a|2.其中正确命题是________． 答案 ④
9．几个向量常用结论：
→→→
①PA＋PB＋PC＝0?P为△ABC的重心；
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→→→→→→②PA·PB＝PB·PC＝PC·PA?P为△ABC的垂心； →→
ABAC
③向量λ(＋) (λ≠0)所在直线过△ABC的内心；
→→|AB||AC|→→→
④|PA|＝|PB|＝|PC|?P为△ABC的外心．
易错点1 图象变换方向或变换量把握不准致误
例1 要得到y＝sin(－3x)的图象，需将y＝单位(写出其中的一种特例即可)． ππ
错解 右 或右 412找准失分点 y＝
π2－3x? (cos 3x－sin 3x)＝sin??4?2
2
(cos 3x－sin 3x)的图象向______平移______个2
?x－π??. ＝sin?－3??12??
π
－3x＋?→y＝sin(－3x)． 题目要求是由y＝sin?4??ππ
右移平移方向和平移量都错了；右移平移方向错了．
412正解 y＝
π2
－3x? (cos 3x－sin 3x)＝sin??4?2
?x－π??， ＝sin?－3??12??
2?x－π??得到y＝sin(－3x)只需对x加上π即可，要由y＝sin?－3因而是对y＝(cos 3x－sin 3x)??12??122π
向左平移个单位．
12答案 左
π 12
易错点2 忽视隐含条件的挖掘致误
153ππ
例2 已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，求cos β.
71422ππ
错解 由0<α<，0<β<，得0<α＋β<π，
2211
则cos(α＋β)＝±. 14
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