北师大版2019届高考数学一轮复习学案
第四节数列求和
［考纲传真］1.掌握等差、等比数列的前 种常见的求和方法.
n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几
双基自主测评1
(对应学生用书第74页)
［基础知识填充］
1.公式法
(1)等差数列的前n项和公式:
a1 + an
\
=n a+ 一
n
d;
(2)等比数列的前n项和公式:
\, q= 1,
S a1 - anq a1 ［— qn
11-q= 1—q，qM1.
2?分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. 3. 裂项相消法
(1) 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (2) 裂项时常用的三种变形：
① 1 — 111 \\
① n n+ k k n n+ k ；
1 ___________ 1 ________ 1( 1 1 ② 4n2- 1 = ?n-［ ?n + ］ = 2 2^—1-2n+ 1 ；
③ 7+^+7= n+1- n.
4. 错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列 的前n项和可用错位相减法求解.
5. 倒序相加法
如果一个数列｛an｝的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数, 那么求这个数列的前 n项和即可用倒序相加法求解. 6. 并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如 型，可采用两项合并求解.
an= ( - 1)nf (n)类
1
北师大版2019届高考数学一轮复习学案
2 2 2 2 2 2
例如，S = 100 — 99 + 98 — 97 +…+ 2 — 1
=(100 + 99) + (98 + 97) +…+ (2 + 1) = 5 050.
[基本能力自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“x”)
a1 — an+1
（1）如果数列｛an｝为等比数列，且公比不等于 1,则其前n项和Sn= -r—T()
（2）n2.（
当》时，=2匕一岛
23n
⑶ 求S= a+ 2a+ 3a+…+ naN和时只要把上式等号两边同时乘以
a即可根据错位相
减法求得.（
⑷ 如果数列｛an｝是周期为k（k为大于1的正整数）的周期数列，那么 S [答案] ⑴ V (2) V (3) X (4) V 1 （） 市亍，则S5等于 B. 1 D. 30 5 =6.] mS( 2. （教材改编）数列｛an｝的前n项和为$,若 A. C. 1 1 1 [v an = n n+1 = n— n+1， 1 1 1 S5= a1+ 比+…+ a5= 1 — 2 + 2 — 3+…一 2 2 3 （ A. 9 D. 72 C. 36 2 a5= 4, B [ v a2 ? as= 4a5,即卩 &= 4a5, a5= b4 + b6= 2b5 = 4,「. bs = 2, ? S= 9b5 = 18,故选 B.] 4 . 若数列｛an｝的通项公式为an = 2n+ 2n—1,则数列｛an｝的前n项和 —2n —+ = 2n+1 — 2+ n2.] n+1 2 乙 2 —2+ n [S= 2 （2018 ?开封模拟）已知等比数列 数列｛b｝的前9项和S9等于 ｛ an｝a2 a8 = 4as，等差数列｛bn｝中，b4 + b6= as，则 ? 中, ）【导学号: 00090174 】 B. 18 S= n 1 + 2n5 . 3— 2 1 3 ?2 1 + 4 ?2 2 + 5 ?2 +-+ (n+ 2)?2 4 — [设 S= 3X 2 + 4X 占+ 5X *+???+ (n+ 2) x 2n, 2 2 2 2 2 则 |S= 3X 寺 + 4X 2+ 5X 2 +…+ (n+2) x 2+. 3 2 北师大版2019届高考数学一轮复习学案 1 两式相减得2$= 1 n+ 2 2\厂刁e n+ 2 厂=4 题型分类突破I (对应学生用书第74页) ■'■I |g| 一」 分组转化求和 (2016 ?北京高考.)已知｛an｝是等差数列，｛bn｝是等比数列，且 b2 = a, i4 = b4. 3 (1)求｛an｝的通项公式; b3= 9, ai= bi, ⑵设Cn= ch + bn，求数列｛ Cn｝的前n项和. b3 9 ［解］(1)设等比数列｛bn｝的公比为q,则q = = = = 3, b2 3 所以 b1=q=1, m=b3q=2乙所以 bn=3\i(n=1,2,3，…). 设等差数列｛an｝的公差为D. 因为 a1 = b1 = 1, a14= b4= 27, 所以 1 + 13d= 27,即 d= 2. 所以 an= 2n— 1( n= 1,2,3，…). (2)由(1)知 an= 2n — 1, bn= 3 因此 6= an+ bn= 2n— 1 + 3 从而数列｛Cn｝的前n项和 n — 1 . . Sn= 1 + 3 +???+ (2n— 1) + 1 + 3 +???+ 3 n 1 + 2n— 1 — 3n 2 3n— 1 12分 列，可采用分组求和法求和. 易错警注意在含有子母的数列中对子母的分类讨 ｛an｝的前n项 bn, n为奇 (2)通项公式为 2 an = 数, + 的数列，其中数列｛bn｝ , ｛Cn｝是等比数列或等差数 2 - 1 — 3 c, n为偶数 ［规律方法］分组转化法求和的常见类型 (1)若an = bn± Cn,且｛bn｝ , ｛ Cn｝为等差或等比数列，则可采用分组求和法求 和. 3 北师大版2019届高考数学一轮复习学案 [变式训练1] * � N. （20 16 ?浙江高考）设数列｛an｝的前n项和为S，已知Sa= 4, an+1 = 2S+ 1, n （1）求通项公式an； ⑵ 求数列｛| an- n—2|｝的前n项和. a1 + a2= 4, ［解］(1)由题意得 则 3= 1, a2= 3. a2= 2a1+ 1, 又当 n时，由 an+1 — an= (2S+ 1) — (2S -1 +1) = 2an，得 an+1 = 3an, 所以数列｛an｝的通项公式为an= 3n1, n� N. — 5分 (2)设 bn= |3nII— n— 2| , n� N*，则》=2, b2= 1. — 当 n》3 时，由于 3n1>n+ 2，故 bn= 3n1— n— 2, n》3. — — 8 分 设数列｛bn｝的前n项和为Tn,则T1= 2, T2= 3, 当n》3时，Tn = 3+斗斗 n+f 1 — 3 2 n—? n 2 3 — n — p, 所以 Tn= 3n— n2— 5n+ 11 2 n= 1, n》2, n� N. 裂项相消法求和 12分 |Mi| （2018 ?郑州模拟）若A和B分别表示数列｛an｝和｛bn｝的前n项的和，对任意正整数n, an= 2( n+ 1), 3A— 4n. (1)求数列｛bn｝的通项公式； ⑵记Cn = AB，求｛C｝的前n项和S. n + ［解］(1)由于an= 2(n+ 1) ,??? ｛an｝为等差数列，且 a = 4. A= a1 + an 2 2 2 n 1 + 2n+? 2 2 =n + 3n, ? B= 3A— 4n= 3( n + 3n) — 4n= 3n + 5n, 当 n= 1 时，b1 = B = 8, 当 n》2 时，bn = B — B-1 = 3n + 5n— ［3( n— 1) + 5( n— 1)］ = 6n+ 2.由于 b= 8 适合上式, ?- bn= 6n + 2. 2 2 5 分 II fl 4 n n + 2 , 4 北师大版2019届高考数学一轮复习学案 ⑵由⑴知6= 口= E 5
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