2014年第六届全国大学生数学竞赛非数学类试题

2014年全国大学生数学竞赛预赛试题

非数学类

一、 填空题(共有5小题，每题6分，共30分)

1. 已知y1?ex和y1?xex是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是___ _________________________________

2. 设有曲面S:z?x2?2y2和平面L:2x?2y?z?0。则与L平行的S的切平面方程是_______________________________

dy?t?3. 设函数y?y(x)由方程x??1sin2???dt所确定。求

y?x?4?dxx?0?_______________

4. 设xn??klimxn?______________________ 。则n??k?1(k?1)!f(x)f(x)?3?____________________ ??e。则lim2x?0xx?1xn?5. 已知lim?1?x?x?0?

二、 （本题12分）设n为正整数，计算I??e1?2n?d?1?cos?ln?dx。 dx?x?

三、 （本题14分）设函数f(x)在[0,1]上有二阶导数，且有正常数A,B使得|f\(x)|?B。证

明：对任意x?[0,1]，有|f'(x)|?2A?

B。 2四、 （本题14分）（1）设一球缺高为h，所在球半径为R。证明该球缺体积为(3R?h)h2。

3?球冠面积为2?Rh；（2）设球体(x?1)2?(y?1)2?(z?1)2?12被平面P:x?y?z?6所截得小球缺为?，记球冠为?，方向指向球外。求第二型曲面积分

I???xdydz?ydzdx?zdxdy

（本题?分）设f在[a,b]上非负连续，严格单增，且存在xn?[a,b]，使得

五、15