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平面向量全章习题

来源:用户分享 时间:2025/6/14 21:10:20 本文由loading 分享 下载这篇文档手机版
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《平面向量》学法指导

向量是近代数学中重要和基本的概念之一,有着极其丰富的数学和物理背景;同时它也是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,在表述和解决相关问题中有着重要应用。

在本模块的学习中,我们首先将了解向量丰富的数学背景(有向线段)和物理背景(位移、速度、力和做功)。

有向线段具有长度和方向,向量也具有大小和方向,两者的几何特征是完全一致的,因此我们常用有向线段来表示一个向量。 ..

向量也是对物理学中的矢量的进一步抽象,因此我们在学习中可以将向量和矢量对照学习,尤其是向量的正交分解、加减、数乘与数量积运算。

向量的运算的学习要从一些实例开始,如从位移的合成引入向量的加法(减法),从速度的倍数引入数乘向量,从“做功”引入向量的数量积。同时我们要注意充分利用几何图形语言,从图形直观上获得解题的思路甚至直接获得解法。

在学习中我们要注意到利用向量法解决有关几何问题、力学问题和其它一些实际问题,如距离、角度等的计算以及各种空间关系如垂直、平行等的论证,发展学生的运算能力和解决实际问题的能力。由

?2?a?a2??????a?b?a?b?cos?和线段长度的向量法 ;由(?为向量a,b夹角),

??a?b知cos?=???abx1x2?y1y2x?x2212??222可知,a?a?x2?y2?(x2?x1)?(y2?y1),此即求距离y?y2212,利用这个公式可以求已知方向

向量的两条直线的夹角; 求两条直线夹角常见如已知两条直线方程,

则可由方程求出方向向量进而求夹角;再如,判断两条直线的位置关系,求直线方程,求符合某些条件的曲线方程等,均可利用向量法进行;另外,由于空间向量是平面的自然推广,由于向量的平移不变性,每两个空间向量均可视为两个平面向量,所以在立体几何中模块中,对向量的应用将更加广泛,对空间垂直、平行关系的判断与证明、对空间角度与距离的求解等利用向量均有很好的解法。

因此在学习中要注意引导学生形成向量几何观念,掌握一些常见问题的处理方法,初步形成向量几何的方法体系。

练习一(§1.从位移、速度、力到向量) 1、下列说法正确吗?

①物理中的矢量是既有大小又有方向的量,所以只要两个矢量的大小和方向都一致,就是相等的矢量;

②数学中规定,具有方向和长度的线段称为有向线段,所以两条有向线段相等只要它们的长度和方向一致即可; ③一个矢量就是一个向量;

④一个向量就是一条有向线段,一条有向线段就是一个向量。 2、一张正方形桌子边长1m,一只小蚂蚁从桌子东南角出发,沿直线爬到西北角;另一只小蚂蚁从桌子东南角出发,沿桌子边沿先爬到西南角,再爬到西北角。

①试选择适当的比例尺,画出这两只小蚂蚁的位移; ②试问:这两只小蚂蚁的位移一样吗?为什么? 3、下列说法正确的是( )

??????A.若a?b,b?c,必有a?c.

??????B. 若a?b,且|a|?10,|b|?5,那么有a?b. ????C. 若a?b,那么a,b同向. ??????D. 若a?b,且|a|?|b|,那么有a?b.

4、在①平行向量不一定相等;②不相等的向量一定不平行;③共线向量一定相等;④相等向量一定共线;⑤不共线的向量一定不相等;⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中,正确的命题有 .

5、两个正三角形交叉叠放如图,各交点为所在边的中点,试找出图中分别相等、相反的向量。 A B C D E

F G H 6、试用有向线段表示下列事件中出现的矢量(位移或速度): ①某次台风中心风速达到了每秒45米,从沿海某地登陆后向西南方向移动;

②某缉私艇从中心出发,向东南方向行驶15浬到达A岛后,又向正东行驶10浬到达目的地; 7、下列说法正确的是( )

A、零向量是长度为零的向量,没有方向; B、单位向量是长度为单位1的向量,也没有方向; C、零向量没有方向,但单位向量有方向; D、零向量和单位向量都有方向。

8、①、两个向量平行或共线在本质上是一致的,指的都是表示这两个向量的有向线段所在直线平行或重合;②、两条有向线段平行或共线在本质上也是一致的;③、零向量和任何向量都是共线向量;④、任何两个零向量都是相等的向量;⑤、如果不知道两个零向量的方向,那么我们就无法断定这两个零向量是否相等。在以上说法中,正确的有___________________________________。

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