2020年中考数学冲刺专题 平面几何压轴大题训练（含答案）

2020中考数学 冲刺专题 平面几何压轴大题训练（含答案）

1.已知：在等边△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，且∠BAE＝∠CBD＜60°，DH⊥AB，垂足为点H.

(1)如图①，当点D、E分别在边AC、BC上时，求证：△ABE≌△BCD； (2)如图②，当点D、E分别在AC、CB延长线上时，探究线段AC、AH、BE的数量关系；

(3)在(2)的条件下，如图③，作EK∥BD交射线AC于点K，连接HK，交BC于点G，交BD于点P，当AC＝6，BE＝2时，求线段BP的长．

第1题图

(1)证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠C＝∠CAB＝60°，AB＝BC， 在△ABE和△BCD中， ∠BAE＝∠CBD??

， ?AB＝BC??∠ABE＝∠BCD∴△ABE≌△BCD(ASA)； (2)解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠CAB＝60°，AB＝BC， ∴∠ABE＝∠BCD＝180°－60°＝120°. ∴在△ABE和△BCD中， ∠BAE＝∠CBD??

， ?AB＝BC??∠ABE＝∠BCD∴△ABE≌△BCD(ASA)，

∴BE＝CD. ∵DH⊥AB， ∴∠DHA＝90°， ∵∠CAB＝60°， ∴∠ADH＝30°， ∴AD＝2AH，

∴AC＝AD－CD＝2AH－BE；

(3)解：如解图，作DS⊥BC延长线于点S，作HM∥AC交BC于点M，

第1题解图

∵AC＝6，BE＝2， ∴由(2)得AH＝4，BH＝2,

与(1)同理可得BE＝CD＝2，CE＝8， ∵∠SCD＝∠ACB＝60°， ∴∠CDS＝30°，

∴CS＝1，SD＝3，BS＝7， ∵BD＝BS＋SD＝7＋(3)， ∴BD＝213， ∵EK∥BD， ∴△CBD∽△CEK， ∴

2

2

2

2

2

CBCDBD＝＝， CECKEKCD·CE2×88CE·BD8×213813

＝＝，EK＝＝＝. CB63CB63

∴CK＝

∵HM∥AC，

∴∠HMB＝∠ACB＝60°，

∴△HMB为等边三角形，BM＝BH＝HM＝2， CM＝CB－BM＝4，

又∵HM∥AC， ∴△HMG∽△KCG， ∴即

HMMG＝， KCCGMG1226402＝，∴MG＝，BG＝，EG＝，

77784－MG3∵EK∥BD， ∴△GBP∽△GEK， ∴

BPGB＝， EKGE2613

∴BP＝. 15

2. 如图①，在四边形ABCD中，点P是AB上一点，点E在射线DP上，且∠BED＝∠BAD，连接AE.

(1)若AB＝AD，在DP上截取点F，使得DF＝BE，连接AF，求证：△ABE≌△ADF；

(2)如图②，若四边形ABCD是正方形，点P在AB的延长线上，BE＝1，AE＝32，求DE的长；

(3)如图③，若四边形ABCD是矩形，AD＝2AB，点P在AB的延长线上，AE＝5BE，若AE=nDE，求n的值.

图① 图② 图③

第2题图

(1)证明：∵∠BED＝∠BAD，∠BPE＝∠DPA， ∴∠ABE＝∠ADF，

又∵AB＝AD，BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF；

(2)解：如解图①，延长ED到点F，使得DF＝BE，连接AF，

第2题解图①

∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠BED＝∠BEP，

∵∠P＝∠P，∴∠PBE＝∠ADP， ∴∠ABE＝∠ADF， ∵BE＝DF，AB＝AD， ∴△ABE≌△ADF，

∴AE＝AF，∠BAE＝∠FAD，

∴∠FAD＋∠EAD＝∠BAE＋∠EAD＝90°，

∴EF＝2AE＝32×2＝6，

∴DE＝EF－DF＝EF－BE＝6－1＝5；

(3)解：如解图②，过点A作AF⊥AE交ED的延长线于点F，

第2题解图②

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠BED＝∠BEP＝90°， ∵AF⊥AE，∠P＝∠P，

∴∠PBE＝∠ADP，∠EAB＝90°－∠EAD＝∠FAD， ∴∠ABE＝180°－∠PBE＝180°－∠ADP＝∠ADF， ∴△ABE∽△ADF， ABBEAE1∴ ???，ADDFAF2∴AF＝2AE，DF＝2BE，

在Rt△AEF中，由勾股定理得EF＝AE2?AF2=5AE，

∵AE＝5BE，∴EF＝5AE＝5·5BE＝5BE， ∴DE＝EF－DF＝5BE－2BE＝3BE， ∴AE5＝， DE35. 3∴n=