高中数学选修2-1模块综合检测(含详解)

高中数学选修2-1模块综合检测

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．命题“任意的x∈R,2x4－x2＋1<0”的否定是 ( ) A．不存在x∈R,2x4－x2＋1<0

2

B．存在x0∈R,2x40－x0＋1<0 2C．存在x0∈R,2x40－x0＋1≥0

D．对任意的x∈R,2x4－x2＋1≥0

2解析：全称命题的否定是特称命题，所以该命题的否定是：存在x0∈R,2x40－x0＋1≥0.

答案：C

x2y21

2．设椭圆2＋2＝1(m>n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此mn2椭圆的方程为

2

2

( )

x2y2

A.＋＝1 1216x2y2

C.＋＝1 4864

x2y2

B.＋＝1 1612x2y2

D.＋＝1 6448

m2－n21

解析：抛物线的焦点为(2,0)，∴4＝m－n.又＝，所以可解得m＝4，n＝2 3， m2x2y2

故椭圆的方程为＋＝1.

1612答案：B

3．已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于 ( ) 5 3A.

2C.

37 2

B.

21 2

3 5D. 2

解析：由已知可得2a－b＝(2,2n,4)－(－2,1,2)＝(4，2n－1,2)． 又∵(2a－b)⊥b，∴－8＋2n－1＋4＝0. 5

∴2n＝5，n＝.

2∴|a|＝ 答案：D

4．a<0是方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根的

( )

253 51＋4＋＝.

42

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A．必要不充分条件 C．充分必要条件

B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

1

解析：因为a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0变成2x＋1＝0，这时方程根为x＝－，所以

2“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”不能推出“a<0”；另一方面，当a<0时，Δ＝4－1

4a>0，∴方程一定有两个不相等的实数根，又两根之积为<0，∴方程的根一定是一正根一

a负根，所以“a<0”能推出“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”．

答案：B

y2

5．设F1，F2分别是双曲线x－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且PF1·PF29

2

＝0，则|PF1＋PF2|＝

A.10 C.5

( )

B．2 10 D．2 5

解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n， ∵PF1·PF2＝0，∴PF1⊥PF2， ∴m2＋n2＝4c2＝40.

∵|PF1＋PF2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2PF1·PF2＝40， ∴|PF1＋PF2|＝2 10. 答案：B

6．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，则对角线AC1的长为

A.3 C.6

( )

B．2 D．22

1解析：由题意知AB·AD＝AB·AA1＝AD·AA1＝，

2∴AC1＝(AB＋AD＋AA1)2

＝AB＋AD＋AA1＋2AB·AD＋2AB·AA1＋2AD·AA1＝6， ∴|AC1|＝6. 答案：C

x2y2

7．已知点F1，F2分别是双曲线2－2＝1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与

ab双曲线交于A，B两点.若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率e为 ( )

2222 第 2 页 共 10 页

A.3 C．2

B.3或D．3

3 3

解析：如图，令x＝－c， c2y2b2则2－2＝1，∴y＝±，

aabb2

∴|AF1|＝. a

因△ABF2为等边三角形， ∴∠AF2F1＝30°.

b2

a3

∴tan ∠AF2F1＝＝，

2c33b2

＝2c，即 3(e2－1)＝2e， a

解得e＝ 3. 答案：A

x2y2

8．已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆m＋n＝1上的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2

2π

＝α.当α＝时，△F1PF2面积最大，则m＋n的值是

3

A．41 C．9

B．15 D．1

( )

1

解析：由S△F1PF2＝|F1F2|·yP

2

＝3yP，知P为短轴端点时，△F1PF2面积最大. 2π

此时∠F1PF2＝，

3

得a＝m＝2 3，b＝n＝3， 故m＋n＝15. 答案：B

9．正四棱锥S－ABCD的侧棱长为2，底边长为3，E是SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角等于

( )

A．30° C．60°

B．45° D．90°

解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AB＝3，SA＝2，

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可以求得SO＝

23333332，则B(，，0)，A(，－，0)，C(－，，0)，S(0,0，)． 22222222

因为E为SA的中点， ∴E(

332

，－，)． 444

3332

，－，)， 4443

2

∴BE＝(－

3

SC＝(－2，2，－2)．

SC＝－1，|BE|＝2，|SC|＝2， ∵BE·

所以cos〈BE，SC〉＝BE与SC所成角为60°. 答案：C

10．若抛物线y2＝2x上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则实数b的值为

5

B. 21D．－

2

( )

－11

＝－，

22×2

5

A．－

21C. 2

解析：法一：直线AB的斜率为 y1－y2y1－y2

kAB＝＝＝－1，

x1－x21212

y－y2122

22

即y1＋y2＝－2，y21＋y2＝(y1＋y2)－2y1y2＝6. 2

x1＋x2y1＋y2y21＋y2

线段AB的中点为(，)＝(，－1)

224

3

＝(，－1). 2

5

代入y＝x＋b，得b＝－. 2

法二：设直线AB的方程为y＝－x＋m，与y2＝2x联立，消去x得 y2＋2y－2m＝0.

y1＋y2＝－2，y1y2＝－2m. 1

由y1y2＝－1得m＝.

2设AB的中点为M(x0，y0)， 则y0＝

y1＋y2

＝－1， 2

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