数学归纳法经典例题及答案 

数学归纳法（2016.4.21）

一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：

（1）证明当n 取第一个值n0 （如n0?1或2等）时结论正确；

（2）假设当n?k(k?N?,k?n0) 时结论正确，证明n?k?1时结论也正确． 综合（1）、（2），……

注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。

二、题型归纳：

题型1.证明代数恒等式

例1．用数学归纳法证明：

1111n ???????2n?1??2n?1?2n?11?33?55?7证明：①n=1时，左边?1111?，右边??，左边=右边，等式成立． 1?332?13②假设n=k时，等式成立，即：

1111k??????．

?2k?1??2k?1?2k?11?33?55?7 当n=k+1时．

11111??????

?2k?1??2k?1??2k?1??2k?3?1?33?55?7?k1? 2k?1?2k?1??2k?3??2k?1??k?1? 2k2?3k?1???2k?1??2k?3??2k?1??2k?3??k?1k?1?

2k?32?k?1??1这就说明，当n=k+1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n等式成立．

1

题型2.证明不等式

例2．证明不等式1?12?13???1n?2n (n∈N)．

证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．

左边<右边，不等式成立． ②假设n=k时，不等式成立，即1?那么当n=k+1时，

12?13???1k?2k．

1?12?13???1k?1k?1

?2k?1k?1?2kk?1?1k?12?k?1?k?1

?k??k?1??1k?1??2k?1

这就是说，当n=k+1时，不等式成立．

由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立． 说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是

1?12?131???1k?1k?1?2k?1，当代入归纳假设后，就是要证明：

2k?k?1?2k?1．

认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．

题型3.证明数列问题

例3 (x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋an(x－1)n(n≥2，n∈N*)． (1)当n＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值． (2)设bn＝n(n＋1)(n－1)

. 3

解： (1)当n＝5时，

原等式变为(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5

2

a2

－，Tn＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当n≥2时，Tn＝2n3令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243. (2)因为(x＋1)n＝[2＋(x－1)]n，所以a2＝Cn2·2n2

－

a2bn＝n－3＝2Cn2＝n(n－1)(n≥2)

2①当n＝2时．左边＝T2＝b2＝2，

2(2＋1)(2－1)右边＝＝2，左边＝右边，等式成立．

3②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立， k(k＋1)(k－1)

即Tk＝成立

3那么，当n＝k＋1时，

k(k＋1)(k－1)k(k＋1)(k－1)

左边＝Tk＋bk＋1＝＋(k＋1)[(k＋1)－1]＝＋k(k＋1)

33＝k(k＋1)?＝

k－1?k(k＋1)(k＋2)

3?3＋1?＝(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)－1]

＝右边．

3

故当n＝k＋1时，等式成立． 综上①②，当n≥2时，Tn＝

n(n＋1)(n－1)

. 3

3