初中数学竞赛辅导讲义---锐角三角函数
古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin、cos、tg、ctg的通用形式． 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：
1．单调性；
2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin2α+cos2α=1； 商数关系：tgα=
sin?cos?，ctgα=； cos?sin? 倒数关系：tgαctgα=1．
【例题求解】
【例1】 已知在△ABC中，∠A、∠B是锐角，且sinA＝则S△ABC = ．
思路点拨 过C作CD⊥AB于D，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=tanB=
CD5?，AC135，tanB=2，AB=29cm， 13CD?2，设CD=5m，AC＝13m，CD＝2n，BD＝n，解题的关键是求出m、n的值． BD
注：设△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，R为△ABC外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S△ABC=bcsinA? （2）
1211acsinB?absinC； 22abc???2R． sinAsinBsinC【例2】 如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，BC=1，则AC=( ) A．2?3 B．2?3 C．0.3 D．3?2
思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．
1
注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．
（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．
【例3】 如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB于E，连结CE，求sin∠ACE的值．
思路点拨 作垂线把∠ACE变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．
【例4】 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC， (1)求证：AC＝BD； (2)若sinC=
12，BC=12，求AD的长． 13 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC=
【例5】 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程x2?px?q?0的两个根． (1)求实数p、q应满足的条件；
(2)若p、q满足(1)的条件，方程x2?px?q?0的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦?
思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p、q等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p、q应满足的条件．
学历训练
1．已知α为锐角，下列结论①sinα+cosα=l；②如果α>45°，那么sinα>cosα；③如
2
12AD，引入参数可设AD=12k，AC＝13k． ?13AC果cosα>
1 ，那么α<60°； ④(sinα-1)2?1?sin?．正确的有 ． 2
2．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，BC=1，cosB
5，则这个菱形的面积为 ． 133．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB＝BD，利用此图可求得tan75°= ．
4．化简
(1)tan227??tan263??2= ．
(2)sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°= ．
5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )
A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最低
16．已知 sinαcosα=，且0°<α<45°则coα-sinα的值为( )
83333 B．? C． D．?
44227．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，D是AC的中点，则ctg∠DBC的值
A．
是( )
A．3 B．23 C．
33 D． 2418．如图，在等腰Rt△ABC中．∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，
5则AD的长为( )
A．2 B．2 C． 1 D．22
9．已知关于x的方程4x2?2(m?1)x?m?0的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m的值．
3
10．如图，D是△ABC的边AC上的一点，CD=2AD，AE⊥BC于E，若BD＝8，sin∠CBD=求AE的长． 11．若0°<α<45°，且sinαconα=
37，则sinα= ． 163，4
12．已知关于x的方程3x2?4x?sin??2(1?cos?)?0有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是 ．
13．已知是△ABC的三边，a、b、c满足等式(2b)2?4(c?a)(c?a)，且有5a?3c?0，则sinA+sinB+sinC的值为 ．
14．设α为锐角，且满足sinα=3cosα，则sinαcosα等于( ) A．
1123 B． C． D． 6910515．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是
( ) A．2 B．
16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB=
3，AC=23，则AB的长是( ) 29 213 C．1 D．
22 A．3?3 B．2?23 C．5 D．
17．己在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且c=53，若关于x的方程
(53?b)x2?2ax?(53?b)?0有两个相等的实根，又方程2x2?(10sinA)x?5sinA?0的两实
根的平方和为6，求△ABC的面积．
18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC＝90°，∠CBD°=30°，求AC的长．
19．设 a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断an?bn与cn的关系，并证明你的结论．
20．如图，已知边长为2的正三角形ABC沿直线l滚动．
(1)当△ABC滚动一周到△A lB1C1的位置，此时A点所运动的路程为 ，约为 (精确到0.1，π=3.14)
(2)设△ABC滚动240°，C点的位置为Cˊ，△ABC滚动480°时，A点的位置在Aˊ，
4
请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)÷(1-tanα·tanβ)，求出∠CACˊ+∠CAAˊ的度数．
参考答案
5
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