模型巧等效 快捷解问题
——谈等效思想在解竞赛类物理问题中的运用
姜树青
（浙江省平湖中学， 浙江 平湖 314200）
在物理学中，从力学中力的合成和分解，到重心、惯性力概念；从电磁学中电像法、等效电压源和等效电流源、等效电路，到交流电的有效值、分子电流、位移电流概念；从热学中的热功当量，到光学系统成像的虚物概念??无不闪烁着等效思想的光辉．不仅如此，等效思想在物理解题中更是发挥着独特而奇妙的作用．尤其是竞赛类问题，题目难度大，技巧性强，能力要求高，一些问题按常规思路来考虑，似乎无从下手，或者需要借助高等数学才能解决．但如果巧用等效思想，常常能化难为易，学化繁为简，用中数学知识即可把问题完满解决．
下面笔者介绍两类等效—— 巧用已知模型和构建新模型．
1 巧用已知模型等效
这类等效法是指将题目和常见、简单、熟知且早有结论的已知问题模型等效，利用已知问题的处理方法和结论，来解决题给问题．介绍以下三种情形：
1.1 类比已知模型进行等效
将题目和已往熟知的已知问题模型作类比，找出它们的共同点，类比已知问题的求解方法和结论，解决题给问题．
例1. 真空中两完全相同的金属半球半径为R，分别带有电量为Q / 2的等量、同种电荷．求当两半球充分正对接近时，两者之间库仑斥力的大小．见图1.1所示．
[分析与解答] 本题中当两半球充分正对接近时，可视为一个带电量为Q的整球．不难看出，电荷将在两半球面上将作均匀分布．
考虑如右模型：将半径为R的薄球壳内抽成真空，球壳外界为压强为P 0的大气压环境．由马德堡半球实验知道，球外空气对半个球壳外表面压力的合力为πR2·P 0．把图1.1中半球受库仑力和图1.2中球壳外表面受压力作类比，可知两者模型等效．
这样，只要求出本题中库仑斥力的等效压强，即可求出每个半球受到的库仑力的合力了．求解如下：
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当两半球球充分正对接近时，球面上电荷的面密度为
Q??4?R2
设想在球面上取面积微元ds，则电量微元dq为
Qdq??ds?ds 24?R
电量微元dq在面元两侧产生的场强相同，设为E1，有 QE1?2?k??k 2R2
因两半球充分正对接近，故可视为一个整球．因球面内侧附近的场强为0，故电量微元dq和两半球面上其余电量在面积微元ds内侧附近产生的场强一定等大反向，设其余电量在面积微元ds附近产生的场强大小为E2 ，有
Q E2?E1?k22R
电量微元dq受到其余电量的库仑斥力，方向沿球心与面元中心连线指向球外，大小为
2kQ dF?E2dq?ds48?R
于是球面的等效压强为
2dFkQ p??4ds8?R
类比马德堡半球实验，得两半球之间的库仑力的合力大小为 kQ22F??R?p? 8R2【点评】按常规思路，球面上任意电量微元均受到整个球面上其余电量的库仑力，欲求其中一个半球受到的合力，必须采用球面积分，且运算烦琐．本题求解通过类比马德堡半球模型，把问题巧妙地等效成“恒定的压强P作用于面积πR2，求压力”，避免了复杂的积分运算，做到了化难为易、化繁为简，学生在中学数学程度即可求解． 1.2 “组合”已知模型进行等效
把复杂问题用两个（或更多）已知的简单模型“组合”起来进行
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等效替代，从而使复杂问题简单化．通常原有问题模型常见、熟知，有些现成结论又可直接拿来使用，用这种方法解题往往显得轻车熟路、快捷准确．
例2. 滑块（视为质点）静放在粗糙水平面上，原长足够长的轻质水平弹簧，左端固定在墙壁上，右端与滑块相连，
弹簧处于原长状态时，滑块静止于O处，如图2.1所示．如果把滑块向右拉离平衡位置x0的距离然后释手，滑块恰能保持静止．今将滑块向右拉离平衡位置x（x＞x0）的距离释手，问：欲使滑块释手后运动方向总共改变n次，x须满足什么条件？（设弹簧总在弹性限度内，滑块受最大静摩擦力与滑动摩擦力相等）
[分析与解答] 本题中滑块在粗糙水平面上运动，除受弹簧弹力外还受滑动摩擦力作用．虽滑动摩擦力大小恒定，但是弹簧弹力则为变力，滑块受合力大小和方向均不恒定，似乎不用高等数学知识无法求解．
其实本题可由弹簧振子装置在重力场中竖直悬吊模型（见图2.2甲）和下端竖直支持模型（见图2.2乙） 等效组合得到：当物块从右向左振动时，与图2.2甲中物块向上振动情形相当；当物块从左向右振动时，与图2.2乙中物块向上振动情形相当．所不同的是，图2.2中的平衡位置在物块重力和弹簧弹力相平衡处，而图2.1中的平衡位置则在物块受滑动摩擦力和弹簧弹力相平衡处．
这样，本题中的物块振动有两个等效平衡位置：当物块从右向左振动时，以O1′为平衡位置；当物块从左向右振动时，以O2′为平衡位置。物块最终静止时，必落在O1′O2′= 2 x0之内，如图2.3所示．滑块第1，3，5，??次改变运动方向发生在左侧；第2，4，6，??次改变运动方向发生在右侧．
欲使滑块最终恰好静止在O2′处，
条件是x = 3x0，7x0，11x0，15x0??；欲使滑块最终恰静止在O1′处，条件是x = 5x0，9x0，13x0，17x0??于是有如下递推关系：
欲使释手后滑块运动方向总共改变1次，条件是 3x0＜ x ≤5x0 ； 欲使释手后滑块运动方向总共改变2次，条件是 5x0＜ x ≤7x0 ；
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欲使释手后滑块运动方向总共改变3次，条件是 7x0＜ x ≤9x0 ； · · ·
所以，欲使释手后滑块运动方向总共改变n次，必须满足的条件是
（2n+1）x0＜x ≤（2n+3）x0
【点评】本题滑块在振动中受弹簧的弹力是变力，受滑动摩擦力大小虽恒定，但方向随速度方向改变而改变，滑块运动满足相应的动力学微分方程，在中学范围内，似乎无法求解．本题把弹簧振子装置在重力场中的两种悬吊方式下的振动模型巧妙地“组合”在一起，等效替代滑块的阻尼振动．由于弹簧振子装置在重力场中振动的规律和结论熟知，最终轻松归纳出题目中x必须满足的条件． 1.3 将已知模型的情景推向极端进行等效
将已知模型物理情景推向极端，使之（或其部分）与要解决的新问题进行模型等效，从而求解题给问题．至于将物理情景推向极端，解题中经常用到，比如在定性的分析判断中，常把某个物理量设想为极端值，或者趋于0，或者趋于无穷，或者趋于某一定值、特殊值等，即属此类思维方法．
如果题目所给模型不能直接采用此种等效方法，则可考虑将题目模型先行化简，然后再用．见如下例3．
例3. 如图3.1：将质量分别为m1和m2、相距为R的两质点同时自静止释放．问：经多长时间，两质点在相互万有引力的作用下才能相碰？（设万有引力恒
量为G，两质点除受相互万有引力外，不受其它任何外力）
[分析与解答] 本题在利用已知问题模型之前，先把问题简化——等效成一个固定质点吸引一个可动质点模型．
两质点m1和m2不受其它任何外力，它们将于系统质心O处相碰．以m1为例，它所受m2的引力，可用一个放于质心O、质量为m的“固定”质点等效替代．这里m为等效质量，如图3.2所示．则
m1m2m1mG2?G2Rl
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