兼善中学高2019级高三起步考试
数学试题
（满分150分。时间120分钟）
一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．若复数z满足 A．第一象限
z?2i, 则z对应的点位于（ ） 1?iB．第二象限 C．第三象限
D．第四象限
22．已知集合M?yy?x?1，集合N?xy????4?x2，则CRM?N?（ ）
D．[-2，-1）
? A．（-2，-1） B．[-2，-1] C．[-2，1）
?x2?1x?1?3. 设函数f(x)??2,则f(f(3))? （ ）
x?1??x1213 B．3 C． D． 5394.曲线y?ex在点A(0,1)处切线的斜率为
A．
A,1 B,2 C,e D,
1 e5．阅读右面的程序框图，则输出的k? （ ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．不等式|x?5|?|x?3|?10的解集是( ) A．[-5，7] C．???,?5?B．[-4，6]
?7,??? D．???,?4??6,???
7. 函数f(x)?lnx?ax存在与直线2x?y?0平行的切线，则实数a的取值范围是 ( ) A. (??,2] B. (2,??) C. (0,??) D. (??,2)
8．过抛物线y2?4x焦点的直线交抛物线于A,B两点，若AB?8，则直线AB的倾斜角为 A．
?6或5??3??2?? B．或 C． 或 D． 6443329．在各项均为正数的等比数列?an?中，若am?1?am?1?2am(m?2)，数列?an?的前n 项积
·1·
为Tn，若T2m?1?512，则m的值为
A．4 B．5 C．6 D．7
10. 某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是
A．24 B．36 C．44 D．40
二、填空题：本大题6个小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填写在答题卡相应的横线上．
11.已知a?1,b?(1,3),(b?a)?a,则cosa,b?_________.
12关于x的不等式ax?b?0 的解集为(??,1)，则不等式错误！未找到引用源。为_________
13. 观察请根据右边所列等式：①1?1?2?1②(2?1)(2?2)?4?1?3 ③(3?1)(3?2)(3?3)?8?1?3?5……，写出第n个等式为
考生注意： 14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前面两题给分．
14. 如右图所示，已知C为圆O的直径AB延长线上的一点， 割线CE交圆O于D,E两点，连接AD,AE．若圆O的半径为3，BC=4，CD=5，则?DAE的大小为 ．
15. 在直角坐标系X0Y中，以原点O为极点，X轴的正半轴为建立极坐标系. 极坐标方程为?cos???sin??1的直线与
极轴曲线
x?2?0的解集ax?b?x?2cos?（?为参数）相交于A,B两点, 则AB? ??y?2?2sin?16. 若不等式2x?1?x?2?a?21a?2对任意实数x恒成立，则实数a的取值 2范围是
三、解答题：本大题6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．
17.(满分13分)等比数列?an?的各项均为正数，且2a1?3a2?1,a3?9a6a2。
2（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
·2·
（Ⅱ）设bn?log3a1?log3a2?......?log3an，求数列?
?1??的前n项和。 ?bn?18.(满分13分)如图所示，张先生开车从甲地到乙地有L1,L2两条路线可走．
L1路线上有A1,A2,A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均
为
1；L2路线上有B1,B2两个路口，各路口遇到红灯的概率 2依次为
33,． 45（Ⅰ）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，
并说明理由．
19.(满分13分)已知f(x)?xlnx,g(x)??x?ax?3. （Ⅰ）求：过点(0,?1)且与曲线y?f(x)相切的直线方程；
（Ⅱ）对一切x?(0,??),2f(x)?g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
20.(满分12分)把函数y?sin?2??3???x?cos(x?)的图像向右平移 a(a?0)个单
4?4? 位，得到的函数y?g(x)的图像关于直线x? （1）求a的最小值；
(2)当a取最小值，求函数y?g(x)在区间[??4
对称.
,]上的值域 123??21．(满分12分)如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且AB与n?(2,?1)共线． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线y?kx?m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的
·3·
圆的内部，求实 数m的取值范围．
22. (满分12分)已知x?0，函数f(x)?lnx?（Ⅰ）当a?0时，讨论函数f(x)的单调性；
（Ⅱ）若x1和x2是f(x)的两个极值点，求证：f(x1)?f(x2)?
y B O A x ax． x?1
x?1?[f(x)?x?1]． x·4·
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