【答案】
（1）由题意，设????＝??，????＝??，????＝??，tan??＝3>(0) ∴ cos??=√
11+??????2??
=√
11+9
=
√10，sin??10
=√1???????2??=
3√10， 10
∵ △??????的面积??为3，????边上的高?是2， ∴ 3=2???=2×??×2，解得??＝3，
∴ 设△??????外接圆的半径为??，则由正弦定理可得2??=sin??=圆的半径??=√．
210??
33√1010
11
，解得△??????外接
（2）∵ 由(Ⅰ)可得sin??=∴ 解得????＝2√10，①
3√10，△10
??????的面积??为3=2????sin??＝????
1
3√1020
，
∵ 由(Ⅰ)可得??＝3，cos??=√10，利用余弦定理可得9＝??2+??2?2????×√10=??2+
10
10
??2?4√10×
√10，可得??210
+??2＝13，②
??=2√2??=√5∴ 由①②联立解得{ ，或{ ．
??=2√2??=√5【考点】 正弦定理 【解析】
(Ⅰ)由题意利用同角三角函数基本关系式可求sin??的值，利用三角形的面积公式可求??的值，进而根据正弦定理可求△??????外接圆的半径．
(Ⅱ)由(Ⅰ)利用三角形的面积公式可求????＝2√10，利用余弦定理可得??2+??2＝13，联立即可解得????和????的长． 【解答】
（1）由题意，设????＝??，????＝??，????＝??，tan??＝3>(0) ∴ cos??=√
11+??????2??
=√1+9=
1
√10，sin??10
=√1???????2??=
3√10， 10
∵ △??????的面积??为3，????边上的高?是2， ∴ 3=2???=2×??×2，解得??＝3，
∴ 设△??????外接圆的半径为??，则由正弦定理可得2??=sin??=
??
33√101011
，解得△??????外接
试卷第13页，总19页
圆的半径??=√．
210（2）∵ 由(Ⅰ)可得sin??=∴ 解得????＝2√10，①
3√10，△10
??????的面积??为3=2????sin??＝????
1
3√1020
，
∵ 由(Ⅰ)可得??＝3，cos??=√10，利用余弦定理可得9＝??2+??2?2????×√10=??2+
10
10
??2?4√10×
√10，可得??210
+??2＝13，②
??=2√2??=√5∴ 由①②联立解得{ ，或{ ．
??=2√2??=√5【答案】
（1）摸到同色球的概率为??1=
7
2+??2??462??10
=
，摸到异色球的概率为??2=15
7
??41??61
2??10
=15，
8
由此可估计300人中有300×15=140人摸到同色球，160人摸到异色球， ∴ 有140人回答了问题①，160人回答了问题②，
∵ 学生学籍号的后四位是顺序号，∴ 最后一位是奇数的概率为2， 因此回答问题①的140人有70人回答了“量”，
据此估计有8人在问题②中回答了“是”， ∴ 估计中学生的早恋人数的百分比为160=5%． （2）依题意??～??(40,?0.05)，
??
()??()20???，??＝0，1，2，…，分布列为??(??＝??)=??40（40） 2020
1
19
8
1
∴ ??(??)＝40×0.05＝（2）
【考点】
离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】
(Ⅰ)摸到同色球的概率为??1=
2+??2??462??10
=15，摸到异色球的概率为??2=
7
??41??61
2??10
=
8
15
，由此
可估计300人中有140人摸到同色球，160人摸到异色球，从而有140人回答了问题①，
160人回答了问题②，由学生学籍号的后四位是顺序号，∴ 最后一位是奇数的概率为
12
，得到回答问题①的140人有70人回答了“量”，据此估计有8人在问题②中回答了
“是”，由此能估计中学生的早恋人数的百分比．
(Ⅱ)依题意??～??(40,?0.05)，由此能求出??的分布列及数学期望． 【解答】
（1）摸到同色球的概率为??1=
7
2+??2??462??10
=15，摸到异色球的概率为??2=
7
??41??61
2??10
=15，
8
由此可估计300人中有300×15=140人摸到同色球，160人摸到异色球， ∴ 有140人回答了问题①，160人回答了问题②，
∵ 学生学籍号的后四位是顺序号，∴ 最后一位是奇数的概率为2，
1
试卷第14页，总19页
因此回答问题①的140人有70人回答了“量”， 据此估计有8人在问题②中回答了“是”， ∴ 估计中学生的早恋人数的百分比为160=5%． （2）依题意??～??(40,?0.05)，
??
()??()20???，??＝0，1，2，…，分布列为??(??＝??)=??40（40） 2020
1
19
8
∴ ??(??)＝40×0.05＝（2）
【答案】
（I）当??=??时，??(??)=
1
??2??
???ln?????，??′(??)=
2????
?ln???2，
∴ ??(??)＝????????＝???，??′(??)＝?1，
所以切线方程为??+??＝?(?????)，即??+??＝0；
(????)由??′(??)＝2?????ln???2，??>0，设??(??)＝2?????ln???2，??>0，则??′(??)＝2???
1??
，
当??<0时，??′(??)<0，??(??)在(0,?+∞)单调递减，
由??(??2???2)＝2????2???2?2??＝2??(??2???2?1)>0，??(1)＝2???2<0， ∴ ??(??)在(0,?+∞)不恒正或恒负，
∴ ??(??)在(0,?+∞)不为单调函数，不符合条件；
当??＝0时，??(??)＝?ln???2，??>0，显然不满足条件； 当??>0时，由??′(??)＝0，得??=2??，
当??∈(0,?2??)时，??(??)递减，当??∈(2??,?+∞)时，??(??)递增； ∴ ??(??)
min1
11
=??(2??)=ln2???1，
??
1
根据题意要使??(??)≥0恒成立，则ln2??≥1，即??≥2， 综上，??≥2．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】
（I）求出切点和切线的斜率，求出切线方程；
(????)由??′(??)＝2?????ln???2，??>0，设??(??)＝2?????ln???2，根据题意只需??(??)≥0恒成立，求出??(??)的最小值，求出??的取值范围即可． 【解答】
（I）当??=??时，??(??)=
1
??2??
??
???ln?????，??′(??)=
2????
?ln???2，
∴ ??(??)＝????????＝???，??′(??)＝?1，
所以切线方程为??+??＝?(?????)，即??+??＝0；
(????)由??′(??)＝2?????ln???2，??>0，设??(??)＝2?????ln???2，??>0，则??′(??)＝2???
1??
，
当??<0时，??′(??)<0，??(??)在(0,?+∞)单调递减，
试卷第15页，总19页
由??(??2???2)＝2????2???2?2??＝2??(??2???2?1)>0，??(1)＝2???2<0， ∴ ??(??)在(0,?+∞)不恒正或恒负，
∴ ??(??)在(0,?+∞)不为单调函数，不符合条件；
当??＝0时，??(??)＝?ln???2，??>0，显然不满足条件； 当??>0时，由??′(??)＝0，得??=2??，
当??∈(0,?2??)时，??(??)递减，当??∈(2??,?+∞)时，??(??)递增； ∴ ??(??)
min1
11
=??(2??)=ln2???1，
??
1
根据题意要使??(??)≥0恒成立，则ln2??≥1，即??≥2， 综上，??≥2． 【答案】 （1）由条件得
√(??+1)2+??2|??+3|
??
=
√3，整理得2??23
+3??＝6，即曲线??的方程为
→
→
2
??23
+
??22
=1；
（2）①当直线??的斜率为0时，点??与??重合，不满足????=??????(??>0)，故斜率不为0；
②当直线斜率不为0时，设????:??＝?????1，代入??得2(?????1)2+3??2?6＝0， 整理得(2??2+3)??2?4?????4＝0，
设??(??1,???1)??(??2,???2)，则??1+??2=2??2+3，??1??2=2??2+3， 所以????=√1+??2|??1???2|=√1+??2√??1+??2＝??(??1+??2)?2=所以??(2??2+3,?2??2+3)，
因为????=??????(??>0)，所以??(2,?2)，
2??+32??+3又因为??在曲线??上，代入得整理得??2＝2??2+3，
因为点??到直线????的距离??=√1+??2， 设四边形????????面积为??，△??????的面积为??1， 则??1=???????=×
22
1
1
4√3(1+??2)1×2??2+3√1+??219??2(2??2+3)24???4
16??2
(2??2+3)?6
+2162??2+3
=
4√3(1+??2)
，
2??2+3
4??22??2+3
?2=2??2+3，
?32??
→→3???2????
3
+
4??2??2(2??2+3)22
=1，
=2√3?2??2+3，
2√1+??2所以??＝??△??????+??△??????＝(??+1)??1+(???1)??1＝2????1＝4√3???√1+??， 22??+3
将??2＝2??2+3代入得??＝4√3?√2??2+3=4√3?√
1+??212+
1??2+1，
因为??∈??，所以当??＝0时??取最小值为4，所以4≤??<2√6 故四边形的取值范围为[4,?2√6)． 【考点】
试卷第16页，总19页
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