2020高考数学一轮复习第9章算法初步统计与统计案例第4节变量间的相关关系与统计案例课时分层训练文新人教A

2019年

【2019最新】精选高考数学一轮复习第9章算法初步统计与统计案例第4

节变量间的相关关系与统计案例课时分层训练文新人教A版

A组 基础达标 (建议用时：30分钟)

一、选择题

1．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

①y与x负相关且＝2.347x－6.423；②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.

其中一定不正确的结论的序号是 ( ) A．①② C．③④

B．②③ D．①④

D [由正负相关性的定义知①④一定不正确．]

2．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是 ( )

A．模型1的相关指数R2为0.98 B．模型2的相关指数R2为0.80 C．模型3的相关指数R2为0.50 D．模型4的相关指数R2为0.25

A [相关指数R2越大，拟合效果越好，因此模型1拟合效果最好．]

3．第31届夏季奥林匹克运动会，中国获26金，18银，26铜共70枚奖牌居奖牌榜第二，并打破3次世界记录．由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见．有网友为此进行了调查，在参加调查的2 548名男性公民中有1 560名持反对意见，2 452名女性公民中有1 200人持反对意见，在运用这些

2019年

数据说明中国的奖牌数是否与中国进入体育强国有无关系时，用什么方法最有说服力( )

A．平均数与方差 C．独立性检验

B．回归直线方程 D．概率

C [由于参加讨论的公民按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况：认为有关与无关，故该资料取自完全随机统计，符合2×2列联表的要求．故用独立性检验最有说服力．]

4．(2015·福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入x(万元) 支出y(万元) 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8 根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )

A．11.4万元 C．12.0万元

B [由题意知，＝＝10，

yB．11.8万元 D．12.2万元

＝＝8，

∴＝8－0.76×10＝0.4，

∴当x＝15时，＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．]

5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

爱好 不爱好 总计 男 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110 由K2＝， 算得K2＝≈7.8. 附表：

2019年 P(K2≥k0) k0 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 参照附表，得到的正确结论是( )

A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C [根据独立性检验的定义，由K2≈7.8＞6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．]

二、填空题

6．(2017·西安质检)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程＝0.67x＋54.9.

零件数x(个) 加工时间y(min) 10 62 20 30 40 81 50 89 75 现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________.

【导学号：31222370】

68 [由＝30，得＝0.67×30＋54.9＝75. 设表中的“模糊数字”为a，

则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，即a＝68.]

7．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

男 女 总计 理科 13 7 20 文科 10 20 30 总计 23 27 50 已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025. 根据表中数据，得到K2＝≈4.844.

2019年

则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．

5% [∵K2≈4.844，根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.]

8．(2017·长沙雅礼中学质检)某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温(℃) 用电量(度) 18 24 13 34 10 38 －1 64 由表中数据得回归直线方程＝x＋中的＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量为________℃.

【导学号：31222371】

68 [根据题意知＝＝10，＝＝40，因为回归直线过样本点的中心，所以＝40－(－2)×10＝60，所以当x＝－4时，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用电量为68度．]

三、解答题

9．(2017·石家庄质检)微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人．若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中是青年人．

(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表：

经常使用微信 不经常使用微信 总计 青年人 中年人 总计 (2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？

2019年

附：K2＝.

P(K2≥k0) k0 0.010 6.635 0.001 10.828 [解] (1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有200×90%＝180(人)， 经常使用微信的有180－60＝120(人)， 其中青年人有120×＝80(人)，

使用微信的人中青年人有180×75%＝135(人)， 所以2×2列联表：

经常使用微信 不经常使用微信 总计 青年人 80 55 135 中年人 40 5 45 总计 120 60 180 5分

(2)将列联表中数据代入公式可得：

K2＝≈13.333，

由于13.333＞10.828，所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关” .12分

10．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得如下试验数据：

天数t(天) 繁殖个数y(千个) 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 7 6 (1)求y关于t的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，预测t＝8时的细菌繁殖个数． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

^

b＝，＝－.

[解] (1)由表中数据计算得，

t＝5，＝4， (ti－)(yi－)＝8.5， (ti－)2＝10，2分

^

b＝＝0.85，

^

a＝－＝4－0.85×5＝－0.25.

2019年

所以回归方程为＝0.85t－0.25.5分 (2)将t＝8代入(1)的回归方程中得

^

y＝0.85×8－0.25＝6.55.10

分

故预测t＝8时，细菌繁殖个数为6.55千个.12分

B组 能力提升 (建议用时：15分钟)

1．根据如下样本数据：

x y 3 4.0 4 2.5 5 －0.5 6 0.5 7 －2.0 8 －3.0 得到的回归方程为＝bx＋a，则( ) A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 B [作出散点图如下：

观察图象可知，回归直线＝bx＋a的斜率b＜0，当x＝0时，＝a＞0.故a＞0，b＜0.]

2．(2017·赣中南五校联考)心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从所在学校中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)

男同学 女同学 总计 几何题 22 8 30 代数题 8 12 20 总计 30 20 50 D．a＜0，b＜0

根据上述数据，推断视觉和空间想象能力与性别有关系，则这种推断犯错误的概率不超过________．

附表：

P(K2≥k) k

0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 2019年

0.025 [由列联表计算K2的观测值

k＝≈5.556＞5.024，

∴推断犯错误的概率不超过0.025.]

3．(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

图9-4-5

x y w 8∑ (xi－i＝18∑ (wi－i＝18∑ (xi－i＝18∑ (wi－i＝1x)2 46.6 563 6.8 289.8 w)2 1.6 x)(yi－y) 1 469 w)(yi－y) 108.8 表中wi＝，w]＝wi.

(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：

①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.

[解] (1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.4分

(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程． 由于＝＝＝68，

^

c＝－ ＝563－68×6.8＝100.6，

2019年

所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w， 因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.8分 (3)①由(2)知，当x＝49时，

年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6， 年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z的预报值

^

z＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.10

分

所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.12分