典例1 (12分)(2018·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos∠ADB； (2)若DC＝22，求BC. 审题路线图
?1?利用正弦定理→求得sin∠ADB→利用同角三角函数的基本关系→求得cos∠ADB ?2?利用诱导公式→求得cos∠BDC→利用余弦定理→求得BC
规 范 解 答·分 步 得 分 BDAB解 (1)在△ABD中，由正弦定理得＝， sin Asin∠ADB构 建 答 题 模 板 第一步 找条件：寻找三角形中已知的边和角，由边的大小关系，确定角的范围. 第二步 定工具：根据已知条件和转化方向，选择目标三角形，使用恰当的定理和公式，实施边角之间的转化. 第三步 求结果：根据前两步即52的分析，对公式代入＝，…………………………………………2分 sin 45°sin∠ADB求值，得出结果. 2.……………………………………………3分 5第四步 再反思：转化过程中解得sin∠ADB＝又BD>AB，∴∠ADB<45°，……………………………………5分 ∴cos∠ADB＝ 2231－＝.………………………………6分 255要注意转化的方向，审视结果的合理性. (2)∵∠ADC＝90°， 又由(1)得sin∠ADB＝2， 52，………………………………8分 5∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝在△BCD中，BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC，……9分 ＝25＋8－2×5×22×2＝25，……………………………11分 5∴BC＝5. ………………………………………………………12分 评分细则 第(1)问：写对正弦定理，并代入有关值得2分；正确计算sin∠ADB＝
2
得1分；5
利用边的大小关系，指出∠ADB是锐角得2分；利用平方关系正确求出cos∠ADB得1分. 第(2)问：利用诱导公式正确得出cos∠BDC的值得2分；正确写出余弦定理得1分；代入有关值，并正确计算得2分；最后求对BC的值得1分.
跟踪演练1 (2017·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)B＝8sin2.
2(1)求cos B；
(2)若a＋c＝6，△ABC面积为2，求b.
B
解 (1)由题设及A＋B＋C＝π，得sin B＝8sin2，
2故sin B＝4(1－cos B).
上式两边平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0， 15
解得cos B＝1(舍去)或cos B＝. 17
15
故cos B＝.
17
158
(2)由cos B＝，得sin B＝，
171714
故S△ABC＝acsin B＝ac.
21717
又S△ABC＝2，则ac＝.
2由余弦定理及a＋c＝6，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B) 1517
1＋?＝4. ＝36－2××?2?17?所以b＝2.
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