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一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设f(x)=lnx，且函数?(x)的反函数??1(x)=x+2x-2x+22(x+1)，则f??(x)??（ ） x-1x-2x+22-xx+2
A.ln B.ln C.ln D.ln2-x0tx?e?2．limx?0?e?t?2?dt1?cosx?（ ）
D．?
A．0 B．1 C．-1
3．设?y?f(x0??x)?f(x0)且函数f(x)在x?x0处可导，则必有（ ）
A.lim?y?0 B.?y?0 C.dy?0 D.?y?dy
?x?0?2x2,x?14．设函数f(x)=?，则f(x)在点x=1处（ ）
?3x?1,x?1A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但不可导 D. 可导 5．设?xf(x)dx=e-x?C，则f(x)=（ ）
A.xe-x B.-xe-x C.2e-x D.-2e-x
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+
222227．lim?a?aq?aq2?n??11)+f(x-)的定义域是__________. 44?aqn??q?1??_________
8．limarctanx?_________
x??xg29.已知某产品产量为g时，总成本是C(g)=9+，则生产100件产品时的边际成本MCg?100?__
80010.函数f(x)?x3?2x在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________. 11.函数y?2x3?9x2?12x?9的单调减少区间是___________.
12.微分方程xy'?y?1?x的通解是___________. 13.设
3e?1cos2x14.设z?则dz= _______.
y?2ln2dtta??6,则a?___________.
15.设D?(x,y)0?x?1,0?y?1，则????xeD?2ydxdy?_____________.
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
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?1?16.设y???，求dy.
?x?17.求极限limlncotx
x?0?lnx18.求不定积分
x??5x?1??a0z1ln?5x?1?dx.
19.计算定积分I=
2a2?x2dx.
20.设方程xy?2xz?e?1确定隐函数z=z(x,y)，求z'x,z'y。 四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21．要做一个容积为v的圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r和高h分别为多少时，所用材料最省？
?22.计算定积分xsin2xdx
?023.将二次积分I??dx?02??sinxy2dy化为先对x积分的二次积分并计算其值。 y五、应用题（本题9分） 24.已知曲线y?x，求
（1）曲线上当x=1时的切线方程；
（2）求曲线y?x与此切线及x轴所围成的平面图形的面积，以及其绕x轴旋转而成的旋转体的体积Vx. 六、证明题（本题5分）
25．证明：当x>0时，xln(x?1?x2)?1?x2?1
2参考答案
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1．答案：B
2．答案：A
3．答案：A 4．答案：C 5．答案：D
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
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?13???a7．答案：
1?q6．答案：?,?
448．答案：0
19．答案：
4110．答案： 311．答案：（1，2）
x3?1?Cx 12．答案：213．答案：a?ln2
1?cos2x?14．答案：??sin2xdx?dy?
y?y?1?215．答案：?1?e?
4
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
x?1?16. 答案：??lnx?1???dx
?x?17．答案：-1 18．答案：19. 答案：
2ln?5x?1??C 5?4a2
2xy?2zx2'，Zy?20. 答案：Z?
2x?ez2x?ez'x
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21．答案：r0?22．答案：
3VV4V3 ，h0??22??r0??24
23. 答案：1
五、应用题（本题9分）
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24. 答案：（1）y=2x-1（2）
11?， 12301?1?y?123122（2） 所求面积S??(?y)dy???y?1??y??
023?012?411???2221所求体积Vx????x?dx????1???? 0325630
六、证明题（本题5分） 25．证明：
f(x)?xln(x?1?x2)?1?x2?12x1?2x21?x2 ?f'(x)?ln(x?1?x)?x?x?1?x21?x2xx ?ln(x?1?x2)??1?x21?x2 ?ln(x?1?x2) x?0 ?x?1?x2?1 ?f'(x)?ln(x?1?x2)?0故当x?0时f(x)单调递增，则f(x)?f(0),即
xln(x?1?x2)?1?x2?1
三．解答题 (每小题7分 共28分)
2x?3x?4x1)x 16 计算lim(x?03解 原式=limex?01?2x?3x?4x?ln???x?3???ex?0limln2x?3x?4x?ln3x???ex?0limA
2xln2?3xln3?4xln4ln2?ln3?ln4limA?lim??ln324 xxxx?0x?02?3?43 原式=?324?233 x2sint1dt，求?xf(x)dx 17．设f(x)??10t2xsinx22sinx2?解 显然f(1)?0,f?(x)? x2x111121122?xf(x)?xf?(x)dx 原式= ?f(x)dx?????00022211111122221 ???2xsinxdx???sinxdx?cosx0??cos1?1?
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?w?2w,18．设w?f?x?2y?3z,xyz?，f具有二阶连续偏导数，求 ?x?x?y解 令u?x?2y?3z,v?xyz，则
?w?w?u?w?v???f1'?f2'yz ?x?u?x?v?x?f2'?2w?f1'''''''''??zy?1?zf2'??2f11?f12xz??zy?2f21?f22xz??zf2' ?x?y?y?y''''''?2f11??x?2y?zf12?xyz2f22?zf2'
?x???sin?19．求摆线?,(??????)的弧长L
y?1?cos??解
L?????222?x?????y???d??????1?cos???sin2?d?
??2??02?1?cos??d??4?3?0???sind??8??cos??8
22?0???四 综合题（共18分）
20．修建一个容积等于108m的无盖长方体蓄水池，应如何选择水池长、宽、高尺寸，才使它的表面积最小，
并求出它的最小表面积。
解 设水池长、宽、高分别为x,y,z ?m?,则问题是在条件??x,y,z??xyz?108 下，求函数 S?xy?2yz?2zx?x?0,y?0,z?0?的最小值，作Lagrange函数
L?x,y,z??xy?2yz?2zx???xyz?108?
?Lx?y?2z??yz?0?L?x?2y??xz?0?y解方程组 ?
?Lz?2x?2y??xy?0?xyz?108?得唯一可能极值点 ?6,6,3?，由实际问题知表面积最小值存在，所以在长为6m,宽为6m，高为3m时，
表面积最小,最小值为108m . 21．21、若f(x)在?0,1?上连续，在?0,1?内有二阶导数，求证
（1）存在???0,12?，使f(1)?2f(12)?f(0)??f?(??12)?f?(?)?/2 （2）存在???0,1?，使f(1)?2f(12)?f(0)?f??(?)/4 证明 （1）设F?x??f(x?12)?f(x)2x??0,12?，则F(x)在?0,12?上
满足Lagrage中值定理条件，所以，存在???0,12?，使
F?12??F(0)?F?(?)/2??f(1)?f(12)???f(12)?f(0)?
?f(1)?2f(12)?f(0)??f?(??12)?f?(?)?/2
（2）由已知还有，f?(x)在??,??12???0,1?内可导，再次用Lagrage中值定理 所以，存在????,??12???0,1?，使
f?(??12)?f?(?)?f??(?)/2
结合（1）有
f(1)?2f(12)?f(0)??f?(??12)?f?(?)?/2?f??(?)/4
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