42
因此，直线A1B与平面A1CD所成角的正弦值为7. 法二 A1B＝2，A1D＝2，如图，延长BE交CD于点F，
则DF＝DC＝2，BE＝EF＝A1E＝2， 因为∠A1EF＝90°，所以A1F＝2， 7
则S△A1FD＝2，S△A1FC＝7，
6
作A1H⊥ED于点H，则A1H＝2，
11626
VA1－BCF＝3·S△BCF·A1H＝3×4×2＝3， 设点B到平面A1FC的距离为h，
1726又VA1－BCF＝VB－A1CF＝3·S△A1FC·h＝3h＝3， 得h＝26
， 7
h42
因此，直线A1B与平面A1CD所成角的正弦值sin θ＝AB＝7. 1题型二 立体几何中的轨迹问题
【例2】 (1)已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与平面A1B1C1D1垂直，且AD＝AB，E为CC1的中点，P在对角面BB1D1D所在平面内运动，若EP与AC成30°角，则点P的轨迹为( ) A.圆 C.双曲线
B.抛物线 D.椭圆
(2)(2019·宁波期中)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是平面AC内的动点， 若点P到直线A1D1的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是( ) A.抛物线 C.椭圆
B.双曲线 D.直线
解析 (1)因为在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与平面A1B1C1D1垂直，且AD＝AB，所以该平面六面体ABCD－A1B1C1D1是一个底面为菱形的直四棱柱，所以对角面BB1D1D⊥底面ABCD，AC⊥对角面BB1D1D.取AA1的中点F，则EF∥AC，因为EP与AC成30°角，所以EP与EF成30°角.设EF与对角面BB1D1D的交点为O，则EO⊥对角面BB1D1D，所以点P的轨迹是以EO为轴的一个圆锥的底面，故选A.
(2)如图，以A为原点，AB为x轴、AD为y轴，建立平面直角坐标系.设P(x，y)，作PE⊥AD于E、PF⊥A1D1于F，连接EF，易知|PF|2＝|PE|2＋|EF|2＝x2＋1， 又作PN⊥CD于N，则|PN|＝|y－1|. 依题意|PF|＝|PN|，即
x2＋1＝|y－1|，
化简得x2－y2＋2y＝0，
故动点P的轨迹为双曲线，选B.
答案 (1)A (2)B
【训练2】 (1)(2019·金华十校模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是线段CD，AB上的动点，点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，记直线π
D1P与MN所成角为θ，若θ的最小值为3，则点P的轨迹是( )
A.圆的一部分 C.抛物线的一部分
B.椭圆的一部分 D.双曲线的一部分
(2)(2018·绍兴质检)如图，若三棱锥A－BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到点A的距离之比为正常数λ，且动点P的轨迹是抛物线，则二面角A－BC－D的平面角的余弦值为( )
A.λ 1C.λ
B.1－λ2 D.11－λ2 解析 (1)延长D1P交底面ABCD的内部于点Q，连接QD，则∠D1QD为直线D1Q与底面ABCD所成的角，也就是直线D1P与MN所成角θ的最小值，故ππ
∠D1QD＝3，从而∠DD1Q＝6，所以D1Q的轨迹是以D1D为轴，顶点为D1，母π
线D1Q与轴D1D的夹角为6的圆锥面的一部分，则点P的轨迹就是该部分圆锥面与△A1C1D面(不包括边界)的交线，而△A1C1D面所在平面与轴D1D斜交，故点P的轨迹是椭圆的一部分.
(2)由题意知，动点P的轨迹是以点A为焦点，直线BC为准线的抛物线，设点P在底面BCD内的投影为点H，二面角A－BC－D的平面角的大小为θ，点P到|PH||PH|λ|PA|
直线BC的距离为d，则|PA|＝λ，由抛物线的定义，得|PA|＝d，则sin θ＝d＝d＝λ，则cos θ＝
1－sin2θ＝
1－λ2，故选B.
答案 (1)B (2)B
补 偿 训 练
一、选择题
1.(2019·温州适应性考试)已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当C运动时，点H运动的轨迹( )
A.是圆 C.是抛物线
B.是椭圆 D.不是平面图形
解析 设在定圆内过点B的直径与圆的另一个交点为点D，过点B作AD的垂线，垂足为点E，连接EH，CD.因为BD为定圆的直径，所以CD⊥BC，又因为AB垂直于定圆所在的平面，所以CD⊥AB，又因为AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC，所以CD⊥BH，又因为BH⊥AC，AC∩CD＝C，所以BH⊥平面ACD，所以BH⊥EH，所以动点H在以BE为直径的圆上，即点H的运动轨迹为圆，故选A. 答案 A
2.(2018·衢州二中二模)如图，△BCD是以BC为斜边的等腰直角三角形，△ABC中∠BAC＝90°，△ABC沿着BC翻折成三棱锥A－BCD的过程中，直线AB与平面BCD所成的角均小于直线AC与平面BCD所成的角，设二面角A－BD－C，A－CD－B的大小分别为α，β，则( )
A.α>β C.存在α＋β>π
B.α<β
D.α，β的大小关系不能确定
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