解析 作AH⊥平面BCD，分别作HM⊥BD，HN⊥CD于M，N两点.由AB与平面BCD所成的角∠ABH总小于AC与平面BCD所成的角∠ACH，则AB>AC.设O为BC的中点，则点H在DO的右侧，所以有HM>HN，故tan α＝tan∠AMHAHAH
＝HM，tan β＝tan∠ANH＝HN，因此，tan α 3.(2015·浙江卷)如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′－CD－B的平面角为α，则( ) A.∠A′DB≤α C.∠A′CB≤α B.∠A′DB≥α D.∠A′CB≥α 解析 ∵A′C和BC都不与CD垂直，∴∠A′CB≠α，故C，D错误.当CA＝CB时，容易证明∠A′DB＝α.不妨取一个特殊的三角形，如Rt△ABC，令斜边AB＝4，AC＝2，BC＝23，如图所示，则CD＝AD＝BD＝2，∠BDH＝120°，设沿直线CD将△ACD折成△A′CD，使平面A′CD⊥平面BCD，则α＝90°.取CD中点H，连接A′H，BH，则A′H⊥CD，∴A′H⊥平面BCD，且A′H＝3，DH＝1.在△BDH中，由余弦定理可得BH＝7.在Rt△A′HB中，由勾股定理可得A′B＝10.在△A′DB中，∵A′D2＋BD2－A′B2＝－2<0，可知cos∠A′DB<0，∴∠A′DB为钝角，故排除A.综上可知答案为B. 答案 B 4.如图，在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能的是( ) 解析 取CS，CD的中点F，G，连接EF，EG，FG. ∵E为BC的中点，∴EF∥BS. 又EF?平面SBD，BS?平面SBD，∴EF∥平面SBD. 又EF∩FG＝F，EF?平面EFG，FG?平面EFG， ∴平面EFG∥平面SBD.又AC⊥平面SBD， ∴AC⊥平面EFG，∴AC⊥FG， ∴点P∈FG，∴点P的轨迹是△SCD的中位线FG，选A. 答案 A 二、填空题 5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有AP⊥BD1，则动点P的轨迹为________. 解析 易证BD1⊥平面ACB1，所以满足BD1⊥AP的所有点P都在一个平面ACB1上.而已知条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的点 P在平面ACB1与平面BCC1B1的交线上，故所求的轨迹为线段B1C. 答案 线段B1C 6.矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，点E，F分别是AB，DC上的动点，将矩形ABCD沿EF所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC所成角的范围(包含初始状态)为________. 解析 初始状态时直线AD与直线BC所成的角为0°，翻折过程中当BC⊥BD时，直线AD与直线BC所成的角为90°，因此直线AD与直线BC所成角的范围为π?? ?0，2?. ??π?? 答案 ?0，2? ?? 7.如图，在棱长为2的正四面体S－ABC中，动点P在侧面SAB内，PQ⊥底面32 ABC，垂足为Q，若PS＝4PQ，则PC长度的最小值为________. 解析 作PH⊥AB于点H，连接QH，则∠PHQ为二面角S－AB－C的平面角，设AB的中点为G，S在平面ABC内的射影为O′(O′为△ABC的中心)，连接SG，GO′，SO′，则∠SGO′也是二面角S－AB－C的平面角，则sin∠PHQ＝ PQ＝PH SO′2232 sin∠SGO′＝SG＝3，所以PH＝4PQ，所以PH＝PS，所以点P的轨迹是侧面SAB内以AB为准线，以S为焦点的抛物线，SH的中点O是抛物线的顶点，?3?2 O到C的距离就是PC的最小值，此时由余弦定理可知，PC＝??＋(3)2－ ?2? 2 3111112×2×3×3＝4，所以PCmin＝2. 11 答案 2 →＝2DB→， 8.如图1，在△ABC中，BA＝BC＝6，∠ABC＝120°，AD过点D作DE⊥AC交AC于点E，连接CD.现将△ADE与△BCD分别沿DE与CD翻折，使DA与DB重合(如图2)，则二面角E－A′D－C的平面角的余弦值为________. 解析 由题意得DE⊥A′E，DE⊥CE，A′E∩CE＝E，则DE⊥平面A′EC，又DE?平面DEA′，所以平面DEA′⊥平面A′EC，过点C作CG⊥EA′交EA′的延长线于点G，如图所示，则GC⊥平面A′DE，过点G作GH⊥DA′交DA′的延长线于点H，连接CH，可证得CH⊥HD，所以∠GHC即为二面角E－A′D－C的平面角.→＝2DB→，所以在Rt△B′HC中，因为在△ABC中，BA＝BC＝6，∠ABC＝120°，AD∠B′HC＝90°，∠HB′C＝60°，B′C＝6，所以B′H＝3，CH＝33，在Rt△HA′G3中，∠A′HG＝90°，A′H＝1，∠HA′G＝30°，所以HG＝A′H·tan∠HA′G＝3，在 |HG|1 Rt△CGH中，cos∠GHC＝|CH|＝9. 1答案 9 三、解答题 9.(2019·台州质量评估)如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为BA，BC的中点，将△ADE，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′，连接A′B.
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