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9.3.1 无源电阻网络
这里主要讨论二端无源电阻网络求等效电阻问题。这里重点是通过各类题目，介绍对称性、叠加原量在求解等效电阻中的作用，以及通过求解电流分布来确定等效电阻。当然可以利用串并联公式及后面Y-Δ电路的等效变换来求解等效电阻，事实上,在求解具体问题时，往往多种手段集于一题，问题才能得以解决。 9.3.1.1对称性
一个无源电阻网络，经某一种“操作”（如镜像反射、旋转等），所得新网络与原网络相同，则称原网络在此操作下具有对称性。具有电阻分布对称性的电阻网络，一旦接入电源，往往可以在网络中找到由于对称性所提供的等势点。从而使问题得到简化。 ①等势节点的断接法
在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点，（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。
例1 设在桌面上固定孤立接线柱数为：(1) 4个；(2) 5个；(3) n个。任意两个接线柱间均接入
A 电阻值同为r的电阻，求接线柱1和2间的等效电阻为多大？
C
B D
例2三只相同的金属圆圈，两两正交地连成图所示的形状。若每一只金属圈原长为R，试求图中A,B两点间的等效电阻RAB。
例3将电阻r1,r2,r3,r4各三个共12个连成立方形系统，如图所示，求等效电阻RAB？
例4如图所示，电路中每段电阻均为r，求等效电阻RAB？
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②电流分布法
设有电流I从A点流入、B点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流I的关系，然后经任一路径计算A、B两点间的电压 UAB，再由RAB?UAB即可求出等I效电阻。
例5一条电阻率为常数，粗细均匀的无限长金属导线，导线上有A，B两点间一段金属导线的电阻为r，求当AB作为端点时，此无限长的金属导线的等效电阻是多少？
例6、10根电阻均为r的电阻丝接成如图所示的网络，试求出A、B两点之间的等效电阻？
B
A
对于平面上的二维无限网络，可以用下图表示，
三维无限网络
9.3.1.2无穷网络等效变换法
若x?a?a?a?a??，（a＞0）
在求x值时，x注意到是由无限多个a组成，所以去掉左边第一个a?对x值毫无影响，即剩余部分仍为x，这样，就可以将原式等效变换为x?a?x，即x2?x?a?0。所以
x?1?1?4a这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路。 2例7、如图2-4-15所示，框架是用同种金属丝制成的，单位长度的电阻为接等边三角形的数目可认为趋向无穷，取AB边长为a，以下每个三角形的边长依次减小一半，则框架上A、B两点间的电阻为多大？
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?，一连串内
AB图2-4-15
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9.3.1.3在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的Y型或△，如图2-4-8所示，有时把Y型联接代换成等效的△型联接，或把△型联接代换成等效的Y型联接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等效代换要求Y型联接三个端纽的电压U12、U23、U31及流过的电流I1、I2、I3与△型联接的三个端纽相同。
I1R1?I2R2?U12I3R3?I1R1?U31在Y型电路中有I1?I2?I3?0 可解得
I11R1R2OR32I21I1R122I2R31I33R23I33I1?R3R2U12?U31R1R2?R2R3?R3R1R1R2?R2R3?R3R1
在△型电路中
I12?UUU12UI31?31I1?I12?I31I1?12?31 R12R31R12R31图2-4-8
等效即满足：
R3U12U31R2??U12?U31R12R31R1R2?R2R3?R3R1R1R2?R2R3?R3R1
R12?R1R2?R2R3?R3R1RR?R2R3?R3R1R31?12R3R2① ②类似方法可得
即
R23?R1R2?R2R3?R3R1R1 ③
①、②、③式是将Y型网络变换到△型电路中的一组变换。
同样将△型电路变换到Y型电路，变换式可由①、②、③式求得：④、⑤、⑥
R1?R31R23R12R23R12R31R3?R2?R12?R23?R31⑥ R12?R23?R31⑤R12?R23?R31 ④
例5如图所示，电路中每段电阻均为r，求等效电阻RAN？RAM？
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