数值分析课程设计-多项式插值的振荡现象matlab

数值分析 课程设计

多项式插值的振荡现象

（姓名） （学号）

指导教师

。

学院名称 专 业 名 称 提交日期

2012年6月

一、 问题的提出

考虑在一个固定区间上用插值逼近一个函数。显然，Lagrange插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。我们自然关心插值多项式增加时，Ln(x)是否也更加靠近被逼近的函数。龙格(Runge)给出的一个例子是极著名并富有启发性的。设区间[-1,1]上的函数

f(x)?1 21?25x考虑区间[-1,1]的一个等距划分，节点为

-可编辑修改-

。

xi??1?2i,ni?0,1,2,L,n

则拉格朗日插值多项式为

Ln(x)??1a(x) 2i1?25xi?0in其中的ai(x),i=0,1,2,…,n是n次Lagrange插值基函数。

二、 实验内容

研究以下三个函数在各自区间上运用不同的划分

1、f(x)?1,x?[?1,1]

1?25x2x2、h(x)?,x?[?5,5] 41?x3、g(x)?arctanx,x?[?5,5]

运用在区间[-p,p]上等距划分（p>0）,节点为

xi??p?2i,ni?0,1,2,L,n

以x0,x1,…,xn为插值节点构造上述各函数的Lagrange插值多项式。 运用区间[a,b]上切比雪夫(Chebychev)点的定义为

xk??(2k?1)?b?ab?a?cos?22?2(n?1)??,k?1,2,L,n?1 ?以x1,x2,…,xn+1为插值节点构造上述各函数的Lagrange插值多项式，比较其结果。

并分别比较两种划分方法，增加节点数，最大误差的变化。

三、 实验结果及分析

（一） 等距划分

对于函数f(x)?1,x?[?1,1]来说，使用等距划分

1?25x2-可编辑修改-

。

其中绿色点线代表误差，红色划线代表Lagrange插值多项式，蓝色实线代表原函数。

可见对于等距划分来说节点数越多，最大误差越大，可是越靠近中间的误差

-可编辑修改-

。

越少。越接近两个端点的误差越大。当节点数很大时，最大误差的来源只与靠近两个端点的误差有关。

例如：n=20时

-可编辑修改-