2018年江苏省高三上学期期末数学试题分类之解析几何

3.（2018·镇江期末·18）

x2y2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的离心率

ab为点.

（1）求椭圆 E 的方程；

（2）若M?6,?1，以 AB 为直径的圆 P 过 M 点，求圆 P 的标准方程； （3）设直线 MA, MB 与 y 轴分别交于 C, D ，证明： OC ?OD 为定值.

2，左焦点 F (?2,0) ，直线 l : y ? t 与椭圆交于A, B两点，M 为椭圆上异于 A, B 的2??【答案】（1）因为e?c2，且c?2，所以a?22,b?2， ?a2x2y2??1. 所以椭圆 E 的方程为84(2)设A(s,t)，则B(?s,t)，且s?2t?8①

22????????因为以 AB 为直径的圆 P 过 M 点，所以MA?MB，所以MA?MB?0 ????????又MA?(s?6,t?1),MB?(?s?6,t?1)，所以6?s2?(t?1)2?0②

1702，或t??1（舍），所以s?. 39AB?s， 又圆 P的圆心为AB的中点(0,t)，半径为212702所以圆 P 的标准方程为x?(y?)?.

39由①②解得：t?(3)设M(x0,y0)，则lMA的方程为y?y0?令x?0得

t?y0(x?x0)，若k不存在，显然不符合条件. s?x0yc?tx0?sy0；同理yD?s?x0?tx0?sy0

?s?x0tx0?sy0?tx0?sy0t2x02?s2y02?? 所以OC?OD?yc?yD?s?x0?s?x0s2?x02t2(8?2y02)?(8?2t2)y028t2?8y02??2?4为定值. 222(8?2y0)?(8?2t)2t?2y0

4.（2018·扬州期末·18）

x2y2x2y2已知椭圆E1：2+2=1（a＞b＞0），若椭圆E2：+=1（a＞b＞0，m＞1），则称22abmamb椭圆E2与椭圆E1“相似”.

x22

(1) 求经过点(2,1)，且与椭圆E1：+y=1“相似”的椭圆E2的方程；

2(2) 若m=4，椭圆E1的离心率为

2，P在椭圆E2上，过P的直线交椭圆E1于A,B两点，2且，

，求直线l的方程；

①若B的坐标为(0,2)，且②若直线OP,OA的斜率之积为?1，求实数2的值.

x2y2??1，代入点(2,1)得m?2， 【答案】解：⑴设椭圆E2的方程为

2mmx2y2??1 ………3分 所以椭圆E2的方程为

42⑵因为椭圆E1的离心率为

22，故a2?2b2，所以椭圆E1:x2?2y2?2b2

又椭圆E2与椭圆E1“相似”，且m?设

4，所以椭圆E1:x2?2y2?8b2，

A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0)，

?2，所以椭圆E1:x2?2y2?8，将直线l:y?kx?2，

①方法一：由题意得b代入椭圆E1:x2?2y2?8得(1?2k2)x2?8kx?0，

解得x?8k2?4k21?1?2k2,x2?0，故y1?1?2k2,y2?2， 所以A(?8k2?4k21?2k2,1?2k2) ???AP??2???AB?又，即B为AP中点，所以P(8k1?2k2,2?12k21?2k2)， 代入椭圆E228k2:x?2y?32得(1?2k2)2?2(2?12k21?2k2)2?32， 即20k4?4k2?3?0，即(10k2?3)(2k2?1)?0，所以k??3010 所以直线l的方程为y??3010x?2 方法二：由题意得b?2，所以椭圆E1:x2?2y2?8，E2:x2?2y2?32

设

A(x,y),B(0,2)，则P(?x,4?y)，

代入椭圆得???x2?2y2?81y)?32，解得?y?，故x??302 ?x2?2(4?22所以k??3010， 所以直线l的方程为

y??3010x?2 ②方法一： 由题意得x2?2y22?2y22200?8b2,x11?2b2,x2?2y2?2b2，

y0x?y1??1，即x0x1?2y0y1?0， 0x12 ………5分 ………6分 ………8分 ………6分 ………8分 x0?(??1)x1?x???????????2?………12分 AP??AB，则(x0?x1,y0?y1)??(x2?x1,y2?y1)，解得?y?(??1)y1?y?02???所以(则x02x0?(??1)x1?)2?2(y0?(??1)y1?)2?2b2

2?2(??1)x0x1?(??1)2x12?2y0?4(??1)y0y1?2(??1)2y12?2?2b2

22(x0?2y0)?2(??1)(x0x1?2y0y1)?(??1)2(x12?2y12)?2?2b2

所以8b2?(??1)2?2b2?2?2b2，即4?(??1)2??2，所以??

5

.………16分 2

方法二：不妨设点P在第一象限，设直线OP:解得x0y?kx(k?0)，代入椭圆E2:x2?2y2?8b2，

?22b1?2k2，则y0?22bk1?2k2，

直线OP,OA的斜率之积为?11x，代入椭圆E1:x2?2y2?2b2， ，则直线OA:y??2k2解得x1??2bk1?2k2，则y1?b1?2k2 x0?(??1)x1?x???????????2?AP??AB，则(x0?x1,y0?y1)??(x2?x1,y2?y1)，解得?，

y?(??1)y1?y?02???所以(则x02x0?(??1)x1?)2?2(y0?(??1)y1?)2?2b2

2?2(??1)x0x1?(??1)2x12?2y0?4(??1)y0y1?2(??1)2y12?2?2b2

22(x0?2y0)?2(??1)(x0x1?2y0y1)?(??1)2(x12?2y12)?2?2b2

所以

8b2?2(??1)(即8b222b1?2k2?(?2bk1?2k2)?222bk1?2k2?b1?2k2)?(??1)2?2b2?2?2b2，

?(??1)2?2b2?2?2b2，即4?(??1)2??2，所以??5 2

5.（2018·常州期末·18）

22xy如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F，点A是

ab