第五章 方程的特征值和特征向量 页 考试内容
矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵
考试要求
1. 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。
2. 理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。
3. 掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。
求两特（特征值和特征向量）或两特两化（特征值和特征向量及正交化和单位化）时，由于计算量较大，务必请读者步步为营验算。
一、三基与拓展
1．特征值 ? （针对方阵） 定 义： AX??X
基本性质与结论：特征矩阵： A??E 特征多项式： f????A??E
特征方程： ?E?A?0
??i??aii?Tr?A?, 若r?A??1，则?1?a11?a22??ann?Tr?A?， ?2??3???0
i?1i?1nn??i?1ni?A 如A的特征值为 ??f?A?的特征值为f???
?A1? 设A为分块矩阵，即A?????A2???，则A1,A2,...,As的所有特征根就是A的特征根。 ???As?2．特征向量 ?
2.1性 质：
??f?A??f????1??是A的特征值??A?1?
????AA??????首先它要求是一个非零的列向量，其次它是和某个特征值对应的，不能孤立存在，但反过来，一个重根特征值却可以对应多个线性无关的特征向量，但重根特征值对应线性无关的特征向量的个数不一定与重根特征值的重数相等，但对实对称矩阵一定相等，所以，
第五章 方程的特征值和特征向量 页 实对称矩阵有多少个特征值（包括重根的重数）就一定有多少个线性无关的特征向量。
全部特征向量构成AX?0的一个基础解?1, ?2 ??? ?n?r ?n为未知数的个数?，解空间S维度?r?S??n?r?系数矩阵A?，不同特征值对应的特征向量必线性无关，同一特征值（重根）对应的特征向量不一定线性无关。 2.2 基本结论
● 对同一? ,x1和x2是?的特征向量，则k1x1?k2x2 ?k1,k2不全为零?也是? 的特征向量，对于
不同的? , 则k1x1?k2x2 ?k1,k2不全为零?不是? 的特征向量（参阅【例4】）。 ●A与AT有相同的?，但特征向量不一定相同。 ●Am 的 特征向量不一定是A 的特征向量。
●An可对角化?特征向量的个数（重根需重复计算）?r?A??n
?a00???【例1】求A??0a0?的特征值和特征向量?a?0?
?00a??? 解：矩阵的特征方程为
?E?A????a??0，??a是A的三重特征根。此时求特征向量的齐次方程组
为
?000??x1????? ?000??x2??0?R?S??n?R?A??3?0?3
?000??x????3?3任意三个线性无关的向量都是它的基础解系，一般取特征向量
?1??100?, ?2??010?, ?3??001?
评 注TTT?1??0??0??100?????????1??0, ??1, ??0?正是三阶单位矩阵 E=010 233????????的三个列?或行?向量，?0??0??1??001??????????100???这就是为什么在求形如?000?基础解系时，用E的列向量依次填补后面坐标分量的原
?000???因。
第五章 方程的特征值和特征向量 页 【例2】设n阶矩阵A的元素全为1，求A的特征值。
解：
1??1A??E??1
11???1?111?1n?1???????0????nn?1??n?????n?????1?????n, 0,? 0,?1???1?1??00???, ?200???【例3】求A??110?的的特征值和特征向量。
?111???解：矩阵的特征方程为
??2?E?A??1?1000????1????2??0??1,2?1, ?3?2，
??12??1?1??1是A的二重特征根。此时求特征向量的齐次方程组为
??1???1??1???1???1??1?00??x1????10??x2??0?10????x3?
00??100??0??????10???010??R?S??n?R?A??3?2?1????0????1?10???000???只有一个特征向量，可见二重特征根不一定存在2个特征向量。
??2是A的单特征根。此时求特征向量的齐次方程组为
???2???1??1??00???11??11?00??x1??000??x1????????10??x??1102??????x2??0??????1??1????x3???111??x3?
0??1?10?1???????0???001??R?S??n?R?A??3?2?1????1????0?1???000???【例4】设方阵A有两个特征值?1??2，对应的特征向量分别为x1, x2，证明：x1?x2不是A的特征向量。
证明：采用反证法。设x1?x2是A对应特征值为?的特征向量，则
第五章 方程的特征值和特征向量 页 A?x1?x2????x1?x2??Ax1?Ax2???x1?x2?
??1x1??2x2???x1?x2??????1?x1?????2?x2?0??????????1??0； ????2??0x1, x2线性无关
??1??2?? 与条件矛盾，故原命题成立。
【例5】设方阵A有两个特征值?1??2，对应的特征向量分别为?1, ?2，证明：
?1和 A??1??2?线性无关的充要条件是?2?0。
证明： 利用分块矩阵的初等变换??1， A??1??2?????1， ??， ?2?2???2?0，11??2?2????1否则0与任何向量组线性相关。
3．相似矩阵及性质
?1A的一种等价形式。 AP? 相似A ，它是B3.1 定义（充要条件） B?P3.2 性 质
●A 相似B?AT相似BT ●A 相似B?A?1相似B?1 ●A 相似B?Ak相似Bk ●A 相似B?f?A?相似f?B?
●A~B?A,B具有5个相同，即 ①相同的行列式?A?B；反之不成立。
②相同的特征多项式??E?A??E?B；证明如下
?11?P??P ??E?B?PAP??1?P?E??A?P?1?P?EA??P，反之不成?EA立。
③相同的特征值??A??B；反之不成立。例如
?20??21??1?1 A??; B??PAP?P2EP?2E?B ????02??02?如果是实对称矩阵则逆命题成立。
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