三角恒等式与三角不等式
一、基础知识
定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则
角为负角，若不旋转则为零角。
定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。
弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=
L,其中r是圆的半径。 r定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正
半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为
xy,余弦函数cosα=,
rrxry正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数secα=,余割函数
yxxrcscα=.
y11定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,sinα=，cos
cot?csc?1α=；
sec?sin?cos?商数关系：tanα=； ,cot??cos?sin?（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=
乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×
sinα=cosα；
平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2
α, cot2α+1=csc2α.
定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;
（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα,
cot(-α)=cotα;
（Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα;
?????????（Ⅳ）sin????=cosα, cos????=sinα, tan????=cot?2??2??2?α（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。
????单调区间：在区间?2k??,2k???上为增函数，在区间
?22??3??2k??,2k????上为减函数， ?22??最小正周期：2?. 奇偶性：奇函数
有界性：当且仅当x=2kx+
??时，y取最大值1，当且仅当x=3k?-时, y22取最小值-1，值域为[-1，1]。 ?对称性：直线x=k?+均为其对称轴，点（k?, 0）均为其对称中心。
2这里k∈Z.
定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。
单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]
上单调递增。
最小正周期：2π。 奇偶性：偶函数。
有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。
???对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点?k??,0?均为其对称中心。这里
?2?k∈Z.
??定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(x?kπ+)在开区间(kπ-, 22kπ+)上为增函数,
最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+
?，0）2?2均为其对称中心。
定理6 两角和与差的基本关系式：cos(α?β)=cosαcosβ?sinαsinβ,
sin(α?β)=sinαcosβ?cosαsinβ;
(tan??tan?). tan(α?β)=
(1?tan?tan?) 两角和与差的变式：sin2??sin2??cos2??cos2??sin(???)sin(???)
tan??tan??tan??tan?tan?tan?三角和的正切公式：tan(?????)?
1?tan?tan??tan?tan??tan?tan?定理7 和差化积与积化和差公式:
??????????sinα+sinβ=2sin??cos??, sinα-sinβ
?2??2?=2sin????????????cos??, 22????cosα+cosβ=2cos???????2??????cos??, cosα-cosβ
2???=-2sin??????2??????sin???2??, ?sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)], cosαsinβ=[sin(α
+β)-sin(α-β)],
12121212cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)], sinαsinβ=-[cos(α
+β)-cos(α-β)].
定理8 二倍角公式：sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α
2tan?. -1=1-2sin2α, tan2α=2(1?tan?)三倍角公式及变式：sin3??3sin??4sin3?，cos3??4cos3??3cos?
sin(60??)sin?sin(60??)?sin3?，
1cos(60??)cos?cos(60??)?cos3?
4(1?cos?)(1?cos?)??定理9 半角公式: sin=?, cos=?,
2222sin?(1?cos?)?(1?cos?)?. =?=
sin?2(1?cos?)(1?cos?)?????????2tan??1?tan2??2tan???2?, cos???2?,tan???2?. 定理10 万能公式: sin???????????1?tan2??1?tan2??1?tan2???2??2??2?定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b2?0，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，
14tan则sinβ=
ba?b22,cosβ=
aa?b22，对任意的角α.asinα+bcosα
=(a2?b2)sin(α+β).
定理12 正弦定理：在任意△ABC中有
abc???2R， sinAsinBsinC其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。
定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。
定理14 射影定理：在任意△ABC中有a?bcosC?ccosB，b?acosC?ccosA，c?acosB?bcosA
定理15 欧拉定理：在任意△ABC中，OI2?R2?2Rr，其中O,I分别为△ABC的外
心和内心。
定理16 面积公式：在任意△ABC中，外接圆半径为R,内切圆半径为r，半周长
p?a?b?c 2则
11abcS?aha?absinC??rp?2R2sinAsinBsinC?rR(sinA?sinB?sinC)
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