全国大学生数学竞赛辅导2010试题解答 - 图文 

北京科技大学数学竞赛试题解答2010一.选择题（每小题2分，共20分）

1.设函数f(x)和g(x)均可导，且f(x)

x

x

B.f(?x)>g(?x)

C.lim

x0

∫f(t)dt

x?x0

x→x0

x0

∫g(t)dt

x?x0

xx

x→x0

D.∫f(t)dt<∫g(t)dt?x

x0

x0

答案：C.

对C运用洛比达法则.

11

2.设函数f(x)满足f(x)=f(x+2),f(0)=,又在(?1,1)有f′(x)=|x|

8

1

则f(3)=________.

2

?121xx+<<01??28f(x)=?112??x+?1

22222

1

)∞sin(x+x3.积分I=∫dx条件收敛的充要条件是_____.αx0Aα∈(0,1)；Bα∈(0,2)；Cα∈(0,3)；Dα∈(0,1.5)

21∞

令I=∫+∫

0

1

1

=I1+I2,显然当α≤0时，I2发散。做变换x=,

t

易知当α≥2时，I1发散。所以只考虑0<α<2。

11)sin(x+)∞(1?1∞2xx将I写成I=∫dx=∫+∫=I1+I2,

1α001x(1?2)x

AA

1111

其中|∫(1?2)sin(x+)dx|=|∫sin(x+)d(x+)|

xxxx11

1

=|cos2-cos(A+)|≤2,关于A>1有界.

A11

当x→∞时，α=α→0.

x(1?12)x?12?αxx

3由Dirichlet判别法知，当0<α<2,I2收敛.1

作变换x=,类似可知，I1收敛，

t

故I在(0,2)收敛。

下证I在α∈(0,2)非绝对收敛。事实上，因为

11122

sin(x+)sin(x+)cos(x+)

1xxx||≥=α?，αααxx2x2x

1α∈(1,2)讨论。分别对α∈(0,)和

所以I条件收敛?α∈(0,2)

4334.在[0,π]上方程sinxcosx=a(a>)的实根个数是_________.

16

3

x

令f(x)=sinxcosx?a,f′(x)=sinx(3?4sinx),

πππ2π2π0

(0,+递增

3)

0-a

3

0

(3?,3)

30

322

f′(x)f(x)

2π(,π)3+

π0

3333-a 递减 --a 递增 -a

1616

33ππ2π当0

163333333当a=,f(x)仅有一个实根；当a>,f(x)无实根；

1616

5