有
p?1U3V,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。
证： P???all??l?V；
2??22212对极端相对论粒子 ??cp?c(nx?ny?nz)
L??2类似得 P???al(2??)(?ni)2V3
?Vl134311 =??al?lVVl?11U (?)??33V?l习题7.3当选择不同的能量零点时，粒子第l个能级的能量可以取为?l或?示二者之差?，以?表
????l??l。试证明相应的配分函数存在以下关系Z1?e???Z1，并讨论由
*配分函数Z1和Z1求得的热力学函数有何差别。 证： 配分函数 Z1???le???l??N
以内能U为例，对Z1: U?lnZ1 ????N??lnZ*1??Nlne??Z1?N??U????
对Z1: U*
*??
习题7.4试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为
e?????se???s式中P是总粒子处于量子态s的概率，Ps??NZ1s
,
?s对粒子的所有量子态求和。
证法一：出现某状态?s几率为Ps
设S1,S2,……Sk状态对应的能级?s?；
,Sk+2,……Sw状态对应的能级?s?；
设Sk+1
类似………………………………；
e?????s则出现某微观状态的几率可作如下计算：根据玻尔兹曼统计 PS?N显然NPs代表粒子处于某量子态S下的几率，NPS；
?e?????S。于是
?e?????S代表处于S状态下的粒子
?SK?????S???个粒子在?s?上的K个微观状态的概率为： 数。例如，对于?s?能级??e?S?S??1?类似写出：P?S????P?Sk??e?????s????? S???S?S1??………………………………………………等等。 于是N个粒子出现某一微观状态的概率。 一微观状态数?1 ，（基于等概率原理） P?????S将NPS?e带入?S??kN?PSlnPS；
?S习题7.5固体含有A、B两种原子。试证明由于原子在晶体格点的随机分布引起的混 合熵为S?k㏑
N!??N??xlnx?(1?x)ln(1?x)?其中N是总原子数，x是A
?Nx??!N(1?x)?!原子的百分比，（1-x ）是B原子的百分比。注意x<1，上式给出的熵为正值。 证： 显然 ??N!N!?
n1!n2!(Nx)!?N(1?x)?!S=k㏑?=-Nk由于 xx?xlnx?(1?x)ln(1?x)?=?Nklnxx(1?x)(1?x)；
(1?x)(1?x)＜1， 故S?0；原题得证。
习题7.8气体以恒定的速度沿方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最 概然分布为
证： 设能级?l这样构成：同一?l中，Pz相同，而Px与Py在变化，于是有：
(
参照教材玻耳兹曼分布证明；有 ?其中 ?lp??pzal?p0)
ln????N???E-?pz,
?1222 （px?py?pZ）2mV???????pzedpxdpydpz?N 由(1)知: 3?h将?l代入 并配方得:
?(??V2? =3?ehm?2)??(?x??y)??2m(pz?m??)2dpxdpydpz?N
2pypx,?y?其中 ?x?2m2m2
整个体积内，分布在
px?px?dpx,py?py?dpy,pz?pz?dpz 内分子数为：
由条件（3）知 计算得 =?(?p?eNzf(px,py,pz)dpxdpydpz?Np0
m?2)1)2?mkT32??(?x??y)dpxdpy(m??)?e??2m(pz??dpz
=?m???fdpxdpydpz?p0?m????p0
代入得出分布： e??\??2m?px2?py2?(pz?p0)2?Vdpxdpydpzh3
m?2 其中 ????2?',
m????p0
习题7.11试根据麦克斯韦速度分布率导出两分子的相对速度vr速率的平均值vr。
解：两分子的相对速度vr在dvrxdvrydvrz内的几率
?????v2?v1和相对速率vr?vr的概率分布，并求相对
?????Vr(vr)??dv1V(v1)V(v2)222222?[(v1m3x?v1y?v1z)?(v1x?vrx)?(v1y?vry)(v1z?vrz)]?()???e2kTdv1xdv1ydv1z2?kT???m同
?e?2mvrx2kT2m?2()?kTmvry?2kT221理可求得v1y,v1z分量为e?m?2()和e2kT?kT3m12mvr2m?2()?kT1
?2?2kTvr22m)evrdvr 引进??，速度分布变为(2?kT2m3?v?22kT)evr2dvr 利用球极坐标系可求得速率分布为：4?(2?kT2rm3??v?28kT22kT相对速率平均值vr?4?()?vrevrdvr??2v
2?kT0??2r习题7.13试证明，单位时间内碰到单位面积上，速率介于
v与
v?dv之间的分子数为：
d???n(m3/2)e2?kT?mv22kTv3dv
证： 在斜圆柱体内,分速度为vz的v方向的分子数为:
对于
vx,vy从?????,对vz从0???积分得:
dt时间碰撞到ds面积上的分子数（v?v?dv）
m3\\2) =n(2?kT 得到：若只计算介于v2??/2??00e?mv22kTv3cos?dvd?d?dsdt
（只对?,?积分） ?v?dv分子数则为：
习题7.14 分子从器壁小孔射出，求在射出的分子束中，分子平均速度和方均根速度。
解： v?m3/2?2kTv24n?()?evdv2kT?0n?(m3/2)?e2kT?0???nv22kT??m； 变量代换
v3dvmn?x;dv?2kT2kTdx? m习题7.15已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为：
??1222(px?py?pz)?ax2?bx其中a,b是常数，求粒子的平均能量。 2m
p2bxb2b22?a(x??)?解： ??2ma4a24a习题7.16气柱的高度为H，截面为S，在重力场中。试求解此气柱的内能和热容量。
22?(px?p2y?pz)??mgz1dxdydzdpxdpydpz 解： 配分函数Z?3?e2mh? 设
?S1???；lnZ?lnA?(5/2)ln??ln1?emgHA??3(2m?)3/2?mg??h??
习题7.17试求双原子理想气体的振动熵。
e????/2解： 振动配分函数Z?1?e????V1
代入式（7.6.1） ? 代入熵计算式?lnZ1?????/2?ln(1?e????)
S?Nk?Nkln(T/?V).其中???k?V。
习题7.18对于双原子分子，常温下kT远大于转动的能级间距。试求双原子分子理 想气体的转动熵。 解）转动配分函数Z1r?2I??2
2I?lnZ1h2;??1/?;?S?Nk?Nkln(T/?r);其中?k?r lnZ1?ln2??2I??习题7.19气体分子具有固有电偶极矩d0，在电场?下转动能量的经典表达式为：
?r?1212(p??2p?)?d0?cos?，证明在经典近似下转动配分函数： 2Isin?r解：经典近似下，?视为准连续能量
Z1r?配分函数
1???edp?dp?d?d?2?h?1?2h????e??2I2p?dp???e?1??2??d0?cos?2Isin?2?d?dp???d?0
利用
???e?x2dx??
d02?。 习题7.20同19题，试证在高温(?d0??1)极限下,单位体积电偶极矩（电极化强度）为：??3kTN?1?d0e?d0???d0e??d0?1lnZ1?(?) 解：电极化强度???????e?d0??e??d0?高温极限下，??0，保留至(?d0?)?2?d02?22nd0??2kT。其中n?NV
习题7.21试求爱因斯坦固体的熵。
??h?2??h?解：将Z1?e1?e，代入至S表达式即得，注意N取3N。(略)
第九章 系综理论
习题9.1证明在正则分布中熵可表为S态的概率。 证： S??k??sln?s其中?s?s1??Es是系统处在s eZ?k(lnZ???lnZ1??Es) 多粒子配分函数Z??e??Es?Z?e(1)
?s????Es由(1)知 e?Z?s???Es?lnZ?ln?s;?Es?1??lnZ?ln?s?
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