全优试卷
?111 此时g?x0??x0?sinx0?blnx0?1?1??blneb?1???0．
2223 所以存在x0?0，使g?x0??0． …… 8
分
②依题意，不妨设0?x1?x2，令x2?t，则t?1． x1 由（1）知函数y?x?sinx单调递增，所以x2?sinx2?x1?sinx1．
从而x2?x1?sinx2?sinx1． …… 10
分
11 因为g?x1??g?x2?，所以x1?sinx1?blnx1?1?x2?sinx2?blnx2?1，
2211 所以?b?lnx2?lnx1??x2?x1??sinx2?sinx1???x2?x1?．
22 所以?2b?分
x2?x1?0． ……12
lnx2?lnx1 下面证明x2?x1?x1x2，即证明t?1?t，只要证明lnt?t?1?0???．
lntlnx2?lnx1t 设h?t??lnt?t?1?t?1?，所以h??t??t??t?12tt?2?0在?1，???恒成立．
???单调递减，故h?t??h?1??0，从而???得证． 所以h?t?在?1，2 所以?2b?x1x2， 即x1x2?4b． ……16
分
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数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，A，B，C是⊙O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D．
22求证：DB?DC?OD?OA．
证明：延长AO交⊙O于点E，
则DB?DC?DE?DA??OD?OE???OA?OD?．…… 5分
因为OE?OA，
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22 所以DB?DC??OA?OD???OA?OD??OA?OD．
22 所以DB?DC?OD?OA． …… 10分
B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
0)，B(3，0)，C(2，2)．设变换T1，T2对应的矩 在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，?10??20?N?阵分别为M??，??01?，求对△ABC依次实施变换T1，T2后所得图形的面?02???积．
?20??10??20?解：依题意，依次实施变换T1，T2所对应的矩阵NM????02???02?． 01?????? …… 5分 ?20??0??0??20??3??6??20??2??4? 则???????，???????，???????．
?02??0??0??02??0??0??02??2??4?0)，B(3，0)，C(2，2)分别变为点A?(0，0)，B?(6，0)，C?(4，4)． 所以A(0，1?6?4?12． …… 10
2 从而所得图形的面积为分
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
?在极坐标系中，求以点P2，3??2相切的圆的极坐?为圆心且与直线l：?sin????3?标
方程．
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解：以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy．
则点P的直角坐标为1，3． …… 2分 ? 将直线l：?sin??3?2的方程变形为：?sin?cos???cos?sin??2，
33???? 化为普通方程得，3x?y?4?0． …… 5分
所以P1，3到直线l：3x?y?4?0的距离为：??4?3?2?2．
2???1? 故所求圆的普通方程为?x?1??y?3分
2??2?4． …… 8
π 化为极坐标方程得，??4sin??． …… 10分
6??
D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
11?a?c≥2． ，求证：2ca?2b 已知a，b，c为正实数，且a?b?c???证明：因为a，b，c为正实数，
1?a?c?a?2b?3cca?2bca?2b 所以???? ??a?c??2?b?c?ac?2bc2ac?4bc ≥ac?2bc ?2（当且仅当a?b?c取“=”）． …… 10
分
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