高考理科第一轮复习练习（选修4-4第一节坐标系）

课时提升作业(七十六)

一、选择题

1.在以O为极点的极坐标系中,直线l的极坐标方程是ρcosθ-2=0,直线l与极轴相交于点M,以OM为直径的圆的极坐标方程是 ( )

(A)ρ=2cosθ (B)ρ=2sinθ (C)2ρ=cosθ (D)ρ=2+cosθ

2.(2013·惠州模拟)已知点P的极坐标为(1,π),则过点P且垂直于极轴的直线方程为 ( ) (A)ρ=1 (B)ρ=cosθ (C)ρ=-

(D)ρ=

3.在极坐标系中,与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程是 ( ) (A)ρsinθ=2 (B)ρcosθ=2 (C)ρcosθ=4 (D)ρcosθ=-4 二、填空题

4.(2012·陕西高考)直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为 .

22

5.(2012·江西高考)曲线C的直角坐标方程为x+y-2x=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,则曲线C的极坐标方程为 .

6.在极坐标系中,点(2,)到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为 . 三、解答题

7.在极坐标系中,已知圆C的圆心C(3,),半径r=3. (1)求圆C的极坐标方程.

(2)若Q点在圆C上运动,P在OQ的延长线上,且

=2

,求动点P的轨迹方程.

sin(θ+);以极点为坐标原点,极轴为x

8.在极坐标系中,点M的坐标是(2,),曲线C的方程为ρ=2轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l经过点M和极点. (1)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程. (2)直线l和曲线C相交于两点A,B,求线段AB的长.

9.从极点O作直线l与另一直线ρcosθ=4相交于点M,在OM上取一点P,使·=16.

(1)求点P的轨迹方程.

22

(2)圆N的方程为(x-2-5cosθ)+(y-5sinθ)=1(θ∈R),过圆N上任意一点K作P的轨迹的两条切线KE,KF,切点分别为E,F,求

·

的最小值.

10.已知圆C的极坐标方程ρ=2asinθ,求: (1)圆C关于极轴对称的圆的极坐标方程. (2)圆C关于直线θ=

对称的圆的极坐标方程.

11.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos(θ-)=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点. (1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标.

(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程. 12.(2013·福州模拟)已知椭圆C的极坐标方程为ρ=

2

,点F1,F2为其左、右焦点,直线l的参

数方程为(t为参数,t∈R).

(1)求直线l和曲线C的普通方程. (2)求点F1,F2到直线l的距离之和.

答案解析

1.【解析】选A.直线l:ρcosθ-2=0的直角坐标方程是x=2,直线l与x轴相交于点M(2,0),以OM为直径的

22222

圆的直角坐标方程为(x-1)+y=1,即x-2x+y=0,化为极坐标方程是ρ-2ρcosθ=0,即ρ=2cosθ.

2.【解析】选C.由点P坐标知,过点P且垂直于极轴的直线的直角坐标方程为x=-1,化为极坐标方程为ρcosθ=-1,故选C.

222

3.【解析】选B.方法一:圆的极坐标方程ρ=4sinθ即ρ=4ρsinθ,所以直角坐标方程为x+y-4y=0.

2

选项A,直线ρsinθ=2的直角坐标方程为y=2,代入圆的方程,得x=4,∴x=〒2,不符合题意;

2

选项B,直线ρcosθ=2的直角坐标方程为x=2,代入圆的方程,得(y-2)=0,∴y=2,符合题意.同理,以后选项都不符合题意.

方法二:如图,☉C的极坐标方程为ρ=4sinθ, CO⊥Ox,OA为直径,|OA|=4,直线l和圆相切,

l交极轴于点B(2,0),点P(ρ,θ)为l上任意一点, 则有cosθ=

=,得ρcosθ=2.

4.【解析】直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ的普通方程为2x=1和(x-1)+y=1,圆心到直线的距离为1-=,

2

2

∴弦长为2=.

答案:

2

2

2

5.【解析】∵x+y=ρ,

2

∴x=ρcosθ,代入直角坐标方程整理得ρ-2ρcosθ=0, ∴ρ-2cosθ=0.

即极坐标方程为ρ=2cosθ. 答案:ρ=2cosθ

6.【解析】由x=ρcosθ,y=ρsinθ及ρ=2cosθ,

2

得x=2cosθ,y=2cosθsinθ,

则x=1+cos2θ,y=sin2θ,所以(x-1)+y=1,即圆心坐标为(1,0),而点(2,(1,答案:

),所以所求的距离为

|,由余弦定理,得

.

2

2

)在直角坐标系中的坐标为

7.【解析】(1)设M(ρ,θ)是圆C上任意一点,在△OCM中,∠COM=|θ-CM=OM+OC-2OM·OC·cos∠COM, ∴3=ρ+3-2〓3〓ρcos(θ-), 即ρ=6cos(θ-)为所求.

(2)设点Q为(ρ1,θ1),点P为(ρ',θ'),由∴

=

=2

,得

=2(

-).

2

2

2

2

2

2

,∴ρ1=ρ',θ1=θ',代入圆方程ρ=6cos(θ-)得ρ'

=6cos(θ'-),

即ρ=9cos(θ-)为所求.

8.【解析】(1)∵直线l过点M(2,)和极点, ∴直线l的极坐标方程是θ=(ρ∈R), ρ=2

sin(θ+)即ρ=2(sinθ+cosθ),

2

两边同乘以ρ得ρ=2(ρsinθ+ρcosθ),

22

∴曲线C的直角坐标方程为x+y-2x-2y=0. (2)点M的直角坐标为(1,

),直线l过点M和原点,

x,

,圆心到直线l的距离为d=

,θ),

,∴|AB|=

+1.

∴直线l的直角坐标方程为y=

曲线C的圆心坐标为(1,1),半径r=9.【解析】(1)方法一:设P(ρ,θ),M(

·

=16,ρ

=16,

ρ=4cosθ(扣除极点).

方法二:设平面直角坐标系下P点的坐标为P(x,y),M点的纵坐标为ym, =

,所以ym=

.

因为

2

·

2

=16,

所以x+y=4x(扣除原点).

(2)点P的轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆. 设其圆心为A,|KA|的长为t,

·

=|

||

|cos∠EKF

=(1-2sin∠AKE)=(|

2

|-4)(1-2

2

)=t+

2

-12,

因为||=5,所以4≤t≤6,

2

设f(t)=t+-12,则f'(t)=,

t∈[4,6]时,f'(t)>0,所以f(t)单增, 所以,f(t)的最小值为f(4)=6.

10.【解析】方法一:设所求圆上任意一点M的极坐标为(ρ,θ).

(1)点M(ρ,θ)关于极轴对称的点为M(ρ,-θ),代入圆C的方程ρ=2asinθ,得ρ=2asin(-θ), 即ρ=-2asinθ为所求. (2)点M(ρ,θ)关于直线θ=

对称的点为(ρ,

-θ),代入圆C的方程ρ=2asinθ,得ρ=2asin(

-θ),

即ρ=-2acosθ为所求.

方法二:由圆的极坐标方程ρ=2asinθ,

2

得ρ=2ρasinθ,

利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ=

2

2

,

化为直角坐标方程为x+y=2ay.

222

即x+(y-a)=a,故圆心为C(0,a),半径为|a|.

22222

(1)关于极轴对称的圆的圆心为(0,-a),圆的方程为x+(y+a)=a,即x+y=-2ay,

2

∴ρ=-2ρasinθ,故ρ=-2asinθ为所求. (2)由θ=

2

得tanθ=-1,故直线θ=

2

2

的直角坐标方程为y=-x,

2

2

2

圆x+(y-a)=a关于直线y=-x对称的圆的方程为(-y)+(-x-a)=a,

22222

即(x+a)+y=a,于是x+y=-2ax.

2

∴ρ=-2ρacosθ.

此圆的极坐标方程为ρ=-2acosθ.

11.【解析】(1)由ρcos(θ-)=1得ρ(cosθ+从而C的直角坐标方程为x+即x+

y=1.

sinθ)=1.

y=2.当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0);

,所以N(

,).

当θ=时,ρ=

(2)M点的直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为

(0,).所以P点的直角坐标为(1,),则P点的极坐标为(,).

所以直线OP的极坐标方程为θ=(ρ∈R).

12.【解析】(1)直线l普通方程为y=x-2,曲线C的普通方程为+(2)∵F1(-1,0),F2(1,0), ∴点F1到直线l距离为d1=点F2到直线l距离为d2=∴d1+d2=2

.

=

=,

,

=1.