是 的正规子群. 128. 设 是群,
,
, 证明:
.
129. 设 是群, 和 分别是 的子群和正规子群. 证明: (1) 是 的正规子群; (2) 是 的子群. 130. 设 为 的中心. 证明: 如果
是循环群, 则 是交换群.
131. 设 为群, 对任意的 , 称
为 的换位子, 的所有换位子生成的子群叫做 的换位子群, 记作
是 的正规子群;
是交换群; , 且
为交换群, 则
是 的子群.
. 证明:
(1)
(2) 商群 (3) 若 注:
是由所有换位子的可能乘积所组成的集合.
132. 设 与 仅当对任意的
为群, 为 到 的同态映射.
, 有
.
. 证明: 当且
133. 设 与 为群, 为 到 的同态映射. ,
. 证明:
134. 设 为 到
.
的同态映射, . 为 的子群. 证明:
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135. 设 与 分别为 阶与 阶循环群. 证明: 当且仅当 .
136. 设 都是群 的正规子群. 证明:
137. 设群 在集合 上的作用是传递的. 证明： 如果 是 的正规子群，则 在 的作用下的每个轨道有同样多的元素. 138. 设群 作用在集合 上，
.
139. 证明集合
. 证明： 如果存在
, 使得
, 则
关于通常的加法与乘法构成一个整环. 并求出 140. 证明集合
的所有单位.
关于通常数的加法与乘法构成域. 141. 证明: 由所有形如
的矩阵组成的集合 关于矩阵的加法与乘法构成一个无单位元的环, 试确定这个环的所有零因子.
145. 证明: 一个具有素数个元素的环是交换环. 146. 设 是环.
是 的单位元. 证明: 对任意的
,
.
10
147. 设 是环. 证明: 对任意的 , 有
(1) (2)
; .
148. 设 是有单位元
, 则
.
的环(), 且 是无零因子环. . 证明: 如果
149. 设 为大于1的正整数. 令
证明:
关于剩余类的乘法构成一个交换群.
150. 设 为加群, 定义 的乘法为
证明 151. 设集合
为环, 并求出 的所有子环与理想.
证明 为
的子环.
152. 设 是交换环, 是 的非空子集. 令
证明:
是 的理想.
153. 设 是无零因子环, 是 的子环. 证明: 当 有单位元时, 的单位元就是 的单位元.
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154. 设 是有单位元的交换环, . 证明: 是 的单位当且仅当
. 证明:
.
155. 2. 设 为 的子环, 是 的理想, 且 (1)
是
的子环;
是
的理想.
(2) 如 是 的理想, 则 156. 设 :
为环同态. 证明
是 的理想.
是 的理想.
(1) 如果 是 的理想, 则
(2) 如果 是 的理想, 且 满, 则
157. 设 和 为 的理想, 且满足 158. 设 :
, 且
, . 证明: .
为环的满同态, 和 分别是 和 的理想. 证明: 如果 , 则有环同构
.
159. 证明: 是欧几里德环.
160. 设 是个正整数. 证明 是一个域.
161. 设 是素特征 的域. 证明: 对 中任意元 和 , 有
162. 设 是 上的变换
阶的有限域, 将 看成 如下:
上的线性空间. 对任意的 , 定义
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