验证: 是线性空间 的线性变换.
163. 设a和b是一个群G的两个元且ab?ba，又设a的阶a?m，b的阶b?n，并且
(m,n)?1，证明：ab的阶ab?mn。
164. 设R为实数集，?a,b?R,a?0，令f(a,b):R?R,x?ax?b,?x?R，将R的所有这样的变换构成一个集合G?f(a,b)?a,b?R,a?0，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。
165. 设I1和I2为环R的两个理想，试证I1?I2和理想。
166. 设R是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R中的非零元不是可逆元就是零因子。
167.设G是一个群，?a∈G证明：a与a-1的阶相同.
168.设G=Mn(Q)={有理数域上所有n阶可逆矩阵}，H = {A|A∈G,|A|=1}证明：H是G的不变子群．
169.证明：一个域是一个欧氏环．
170. F?｛所有实数a?b3，（a,b是有理数）｝。证明，F对于普通加法和乘法来说是一个域。
171. 设群G与群G同态，N是G的一个不变子群，N是N的逆象，证明GN?GN。 172. R是由所有复数a?bi（a,b?Z）所作成的环，证明R?1?i?是一个域。
2173. 证明：设G是群，如果对任意的x?G，有x?e，则G是交换群。
??I1?I2??a?ba?I1,b?I2?都是R的
174. 证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。 175. 设H?{a?bi?cj?dk|a,b,c,d?R}是四元数体，对H中任意元
x?a?bi?cj?dk，
定义其共轭
x?a?bi?cj?dk。
证明：xx?xx是一个非负实数；
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176. 设?是集合A到B的一个映射，对于a,b?A，规定关系“~”：
a~b??(a)??(b)．
证明：“~”是A的一个等价关系． 177. 在复数集C中规定关系“~”：
a~b?|a|?|b|．
证明：“~”是C的一个等价关系．
178. 在n阶矩阵的集合Mn(F)中规定关系“~”：
A~B?|A|?|B|．
证明：“~”是Mn(F)的一个等价关系． 179. 设“~”是集合A的一个关系，且满足： （1）对任意a?A，有a~a；
（2）对任意a,b,c?A，若a~b,a~c,就有b~c． 证明：“~”是A的一个等价关系．
180. 设G是一个群，在G中规定关系“~”：
a~b?存在于g?G，使得b?g?1ag．
证明：“~”是G的一个等价关系．
181. 令G?AA为n阶正交矩阵?．证明，G对于矩阵的普通乘法作在一个群． 182. 设G是整数集，规定运算：
?a?b?a?b?4,?a,b?G．
证明：G对运算?作成一个群．
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182.证明：若群G的每个元素都满足方程x2?e，则G 是一个Abel群（交换群）．
183. 设G是一个群，证明：G是交换群的充分必要条件是，对任意a,b?G，都有
(ab)2?a2b2．
184. 证明：在群G中，a?1与a有相同的阶． 185. 证明：在群G中，ab与ba有相同的阶． 186. 证明：在群G中，a与bab?1有相同的阶．
187. 设G是一个群，a?G．若a的阶是正整数n．证明：对
m?Z,am?e?n|m．
188. 设G是一个交换群，m是固定的正整数．令
H?{a?G|am?e}．
证明：H是G的一个子群．
189. 设H1,H2是群G的子群．证明：H1?H2也是G 的一个子群． 190. 设G是一个群，令
C?{a?G|ax?xa,证明：C是G的一个子群．
?x?G}．
191. 设G是一个群，S是G的一个非空子集．令
C(S)?{a?G|ax?xa,证明：C（S）是G的一个子群．
?x?S}．
192. 若群G的阶是素数p，则G是一个循环群，试证之．
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193. 证明：循环群的子群也是循环群．
194. 若群G与群G同态，且G是循环群，证明：G也是循环群．
195. 证明：阶为pm的群（p是素数）一定包含有一个阶为p的子群． 196. 设H，K是群G的不变子群，证明：HK也是G的不变子群
197. 设H，K是群G的不变子群，且H?K?{e}．证明：?h?H,?k?K，都有hk?kh．
198. 设H，K是群G的不变子群，证明：H?K也是G的不变子群。 199. 设H是群G的子群，N是G的不变子群。证明：HN是G的子群． 200. 设G是一个n阶有限群．证明：G的每一个元素都满足方程xn?e．
201. 设G是一个群，C?{a?G|ax?xa,不变子群．
202. 设C是群G的中心，即
?x?G}是G的中心，证明：C是G的一个
C?{a?G|ax?xa,?x?G}．
且商群GC是循环群．证明：G交换群．
203. 若G 是循环群，H是G的一个子群．证明：GH也是循环群．
204.设G是一个群，令?:x?x?1,x?G．证明：?是G到G的同构映射的充分必要条件是：G是一个交换群． 205. 设R是一个环，令
C(R)?{R?G|ax?xa,?x?R}．
证明：C（R）是R的一个子环．
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