CA=(??313,0,0，CC1=??,,3??22?
??)设平面ACC1A1的一个法向量为n=(x1,y1,z1)，
同理可求，n=0,6,?3， ………………………………10分 设平面A1MN与平面ACC1A1所成二面角的大小为?， 所以cos?=()m?nm?m=3612=， 391321．（12分）解：（1）依题意可得e=学2c3， ……………………1分 =a222当且仅当PF1=PF2（即P为椭圆短轴端点）时等号成立，且?F1PF2取最大值；
东高中2b222b222所以1+cos?=?()?2b=2，
PF1?PF2PF1+PF2a数设?F1PF2=?，由余弦定理可知：4c=PF1+PF2?2PF1?PF2cos?，
此时?PF1F2的面积是
222山12c?b=bc=3， 2c3 =a2同时a=b+c，联立bc=3和解得a=2,b=1,c=3， ………………………………………4分
x2+y2=1 ……………………………………………5分 所以椭圆方程为4（2）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x=n， 所以n2+4n2=4，n=2254，此时d=，………………………………6分 55高三数学试题答案 第6页（共9页）
研 …………………3分
讨所以sin?=5. ………………………………12分 13当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 原点O到直线l的距离为d,所以222m1+k2=d，
整理得m=d(k+1)， ………………………………7分
?x2?+y2=1222由?4，可得(4k+1)x+8kmx+4m?4=0， ?y=kx+m??=(8km)2?4(4k2+1)(4m2?4)=16(4k2?m2+1)?0,
8km4m2?4x1+x2=?2,x1x2=…………………………………………9分
4k+14k2+1东即5d?42(2)(k2+1)=0恒成立，
山所以5d?4=0，所以d=2所以定圆C的方程是x+y=所以当OA?OB=0时，存在定圆C始终与直线l相切， 其方程是x+y=224． ………………………………………………12分 522．（12分）解：（1）f?(x)=1+lnx+1?2ax=lnx?2ax+2
若函数f(x)在区间?1,+?)上单调递减，则f?(x)?0在区间?1,+?)上恒成立；
高三数学试题答案 第7页（共9页）
高5m2?4k2?4=0，5d2(1+k2)?4k2?4=0，恒成立，
25， …………………………………11分 54 52中4m2?4m2?4k25m2?4k2?4OA?OB=x1x2+y1y2=+==0，2224k+14k+14k+1数学4m2?4?8kmm2?4k22=k?2+km?2+m= 24k+14k+14k+12研y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
讨?lnx?2ax+2?0在区间?1,+?)上恒成立?lnx+2?a在区间?1,+?)上恒成立 2x?lnx+2?????a …………………………………2分
2x??max令g(x)=2?2(lnx+2)?(lnx+1)lnx+2=，则g?(x)= 22x22x(2x)因为x?1，所以lnx?0，所以g?(x)?0，g(x)在?1,+?)上单调递减，
所以g(x)max=g(1)=1，故a?1，所以实数a的取值范围a?1． ……………4分 （2）由（1）可知，当a?1时，函数f(x)在区间?1,+?)上单调递减， 所以，当a=1时，f(x)=xlnx+x?x?f(1)=0
211?1?ln?2+1??? …………………………………6分 ?n?n?1n?1??1??1?+ln?2+1? 所以ln?2+1?+ln?2+1?+?2??3??n??1??11???1??+???+?2??23?1?1?1+????1??1
n?n?1n???1??1?即ln??2+1??2+1???3???2?1??1?所以?2+1??2+1??2??3?山1?1? ln?2+1??1?，
2?2??1?11ln?2+1??? ?3?23
东?1??2+1??e，得证． ……………………7分 ?n?高三数学试题答案 第8页（共9页）
高?1??+1?2???1 ?n??中1111?1?1所以n?2时，ln?2+1??2+1?1=2?=?
nn(n?1)n?1n?n?n数学从而，当x?1时有lnx+1?x?0，即lnx?x?1 ………………………5分
1因为当n?2（n?N*）时，2+1?1
n研讨（3）若函数f(x)有两个极值点x1，x2，不妨设x1?x2， 即f?(x)=lnx?2ax+2=0有两个相异实根x1，x2，且x1?x2． ?lnx1?2ax1+2=0lnx1+lnx2+4从而有?，将上两式相加得：2a=
lnx?2ax+2=0x+x?2212将上两式相减得：2a=lnx1?lnx2，
x1?x2从而
lnx1+lnx2+4lnx1?lnx2(x+x)(lnx1?lnx2)
，即lnx1+lnx2+4=12=x1?x2x1+x2x1?x2要证明e2x1x2?1，也就是证明2+lnx1x2?0，即lnx1x2??2 ?x1??x1??+1?ln??x??x2??2，令t=x1，只需证明(t+1)lnt?2 也就是证明?2x1x2t?1?1x2高中数东由0?x1?x2，知0?t?1，因此只需证明lnt?学t+12(t?1)2所以h(t)在区间(0,1)上单调递增，
又因为h(1)=0，因此h(t)?h(1)=0在区间(0,1)上恒成立． 所以，当0?t?1时，lnt?山(t?1)14令h(t)=lnt?，则h?(t)=?=?0
t(t+1)2t(t+1)2t+12(t?1)2(t?1)t+1?0成立，所以有lnx1x2??2成立，
从而e2x1x2?1得证． ………………………………12分
高三数学试题答案 第9页（共9页）
研?x1??x1??+1?ln??x??x2? …………………………………9分 即得ln(x1x2)+4=?2x1?1x2?0 ……………10分
讨
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