2006年考研数学（三）真题解析
二、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）lim?n?1???1?nn????n???1.
【分析】将其对数恒等化N?elnN求解.
??1?n(?1)n 【详解】lim?n?1?ln??n?1?nlim??(?1)nln??n?1??n???n??n????n???limn??e?e，
而数列?(?1)n?有界，limn??ln??n?1??n???0，所以lim(n?n?1?n???1)ln??n???0. 故 lim?n?1???1?n n????n???e0?1.
（2）设函数f(x)在x?2的某邻域内可导,且f??x??ef?x?，f?2??1，则f????2??2e3.
【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，f??x??ef?x?，两边对x求导得
f???x??ef?x?f?(x)?e2f?x?，
两边再对x求导得 f???(x)?2e2f?x?f?(x)?2e3f?x?，又f?2??1，
故 f???(2)?2e3f?2??2e3.
（3）设函数f(u)可微,且f??0??12,则z?f?4x2?y2?在点(1,2)处的全微分dz?1,2??4dx?2dy. 【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为
?z?x(1,2)?f?(4x2?y2)?8x(1,2)?4，
?z?y(1,2)?f?(4x2?y2)???2y?(1,2)??2，
所以 dz?z?1,2?????z??x?1,2?dx??y?1,2?dy????4dx?2dy. 方法二：对z?f?4x2?y2?微分得
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dz?f?(4x2?y2)d(4x2?y2)?f?(4x2?y2)?8xdx?2ydy?， 故 dz?1,2??f?(0)?8dx?2dy??4dx?2dy.
?21?（4）设矩阵A???，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则B? 2 .
?12??【分析】 将矩阵方程改写为AX?B或XA?B或AXB?C的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行
计算即可.
【详解】 由题设，有
B(A?E)?2E 于是有 BA?E?4，而A?E?11?11?2，所以B?2.
（5）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则
P?max?X,Y??1??
19 . 【分析】 利用X与Y的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知，X与Y具有相同的概率密度
?1 f(x)???3, 0?x?3.
??0, 其他则 P?max?X,Y??1??P?X?1,Y?1??P?X?1?P?Y?1?
2??P?X?1??2??1?1?1??03dx???9.
【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：
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则 Pmax?X,Y??1?P?X?1,Y?1??（6）设总体X的概率密度为f?x??样本方差为S，则ES2?2.
【分析】利用样本方差的性质ES?DX即可. 【详解】因为
22??S阴1?. S91?xe????x????,X1,X2,?,Xn为总体X的简单随机样本，其2EX??????xf(x)dx??2??2????x?xedx?0， 2??????x2?xedx??x2e?xdx??x2e?x02??0EX????xf(x)dx???x??02?2???0xe?xdx
??2xe?2?e?xdx??2e?x0????0?2，
22 所以 DX?EX??EX??2?0?2，又因S是DX的无偏估计量，
所以 ES?DX?2.
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则
(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.
(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 .
[ Ａ ]
【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.
【详解】 由f?(x)?0,f??(x)?0知，函数f(x)单调增加，曲线
2y?f(x)凹向，作函数y?f(x)的图形如右图所示，显然当?x?0时，
?y?dy?f?(x0)dx?f?(x0)?x?0，故应选(Ａ).
（8）设函数f?x?在x?0处连续，且limh?0f?h2?h2?1，则
(A) f?0??0且f???0?存在 (B) f?0??1且f???0?存在
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(C) f?0??0且f???0?存在 (D)f?0??1且f???0?存在 [ C ] 【分析】从limh?0f?h2?h2?1入手计算f(0)，利用导数的左右导数定义判定f??(0),f??(0)的存在性. ?1知，limf?h2??0.又因为f?x?在x?0处连续，则
h?0 【详解】由limh?0f?h2?h2 f(0)?limf(x)?limfhx?0h?0???0.
2 令t?h，则1?limh?02f?h2?h2?lim?t?0f?t??f(0)?f??(0).
t 所以f??(0)存在，故本题选（C）. （9）若级数
?an?1n?n收敛，则级数
(A)
?an?1?收敛 . （B）
?(?1)n?1??nan收敛.
(C)
?anan?1收敛. (D)
n?1???an?an?1收敛. [ Ｄ ] ?2n?1【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由
?an收敛知?an?1收敛，所以级数?n?1n?1nan?an?1收敛，故应选(Ｄ). 2n?1? 或利用排除法： 取an?(?1) 取an?(?1)n1，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）； n1，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确. n（10）设非齐次线性微分方程y??P(x)y?Q(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),C为任意常数，则该方程的
通解是
（Ａ）C?y1(x)?y2(x)?. （Ｂ）y1(x)?C?y1(x)?y2(x)?.
（Ｃ）C?y1(x)?y2(x)?. （Ｄ）y1(x)?C?y1(x)?y2(x)? [ Ｂ ] 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.
【详解】由于y1(x)?y2(x)是对应齐次线性微分方程y??P(x)y?0的非零解，所以它的通解是
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