?(Ⅱ) 1当b?0时，A有n个线性无关的特征向量，令P?(ξ1,ξ2,?,ξn)，则
?1?(n?1)b???1?b?? P?1AP???????1?b???2? 当b?0时，A?E，对任意可逆矩阵P, 均有
P?1AP?E．
【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵
的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况. (22) (本题满分13分)
设A，B为两个随机事件,且P(A)?111, P(B|A)?, P(A|B)?, 令 432A发生，?1,?1,B发生， Y?? X???0，A不发生，?0，B不发生.求
(Ⅰ) 二维随机变量(X,Y)的概率分布; (Ⅱ) X与Y的相关系数 ρXY; (Ⅲ) Z?X?Y的概率分布.
【分析】本题的关键是求出(X,Y)的概率分布，于是只要将二维随机变量(X,Y)的各取值对转化为随机事件A和B表示即可．
【详解】 (Ⅰ) 因为 P(AB)?P(A)P(B|A)?221P(AB)1?， ， 于是 P(B)?12P(A|B)6则有 P{X?1,Y?1}?P(AB)?1， 121， 61P{X?0,Y?1}?P(AB)?P(B)?P(AB)?，
12P{X?1,Y?0}?P(AB)?P(A)?P(AB)?P{X?0,Y?0}?P(A?B)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)?P(AB)]?( 或 P{X?0,Y?0}?1?即(X,Y)的概率分布为：
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2， 31112???)， 126123
Y X 0 1
0 1 2 31 6 1 121 12111，EY?P(B)?，E(XY)?， 461211EX2?P(A)?，EY2?P(B)?，
4635DX?EX2?(EX)2?，DY?EY2?(EY)2?，
16161 Cov(X,Y)?E(XY)?EXEY?，
24(Ⅱ) 方法一：因为 EX?P(A)?所以X与Y的相关系数 ρXY?Cov(X,Y)DX?DY?115?15． 15方法二： X, Y的概率分布分别为
X 0 1 Y 0 1
3151 P 446611351则EX?,EY?，DX?，DY=, E(XY)=,
461636121故 Cov(X,Y)?E(XY)?EX?EY?，从而
24 P
?XY?Cov(X,Y)DX?DY?15. 152， 31， 4(Ⅲ) Z的可能取值为：0，1，2 ．
P{Z?0}?P{X?0,Y?0}?P{Z?1}?P{X?1,Y?0}?P{X?0,Y?1}?P{Z?2}?P{X?1,Y?1}?即Z的概率分布为：
Z P 0 1 2 1， 12 112 3412【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型 (23) (本题满分13分)
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设随机变量X的分布函数为
??α?β??,x?α， F(x,α,β)??1???x??0，x?α，?其中参数α?0,β?1. 设X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本,
(Ⅰ) 当α?1时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当α?1时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当β?2时, 求未知参数α的最大似然估计量.
【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数,
从而先由分布函数求导得密度函数.
【详解】 当α?1时, X的概率密度为
?β?,x?1， f(x,β)??xβ?1
??0，x?1，(Ⅰ) 由于
EX??????xf(x;β)dx??x?1??βxβ?1dx?β, β?1令
βX?X, 解得 β?, β?1X?1所以, 参数β的矩估计量为 β?X. X?1(Ⅱ) 对于总体X的样本值x1,x2,?,xn, 似然函数为
?βn,xi?1(i?1,2,?,n),? L(β)??f(xi;α)??(xx?x)β?1
12ni?1?0,其他.?n当xi?1(i?1,2,?,n)时, L(β)?0, 取对数得 lnL(β)?nlnβ?(β?1)对β求导数，得
?lnx,
ii?1n - 19 -
d[lnL(β)]dβ?nnβ??lnxi，
i?1令 d[lnL(β)]?nnndββ??lnxi?0， 解得 β?n，
i?1?lnxii?1于是β的最大似然估计量为
β??n?n．
lnxii?1( Ⅲ) 当β?2时, X的概率密度为
?2α2f(x,β)????x3,x?α，
?0，x?α，对于总体X的样本值x1,x2,?,xn, 似然函数为
n?2nα2n L(β)??f(x?,xi?α(i?1,2,?,n),i;α)??(xx?xi?1?12n)3?0,其他.当xi?α(i?1,2,?,n)时, α越大，L(α)越大, 即α的最大似然估计值为
α??min{x1,x2,?,xn}, 于是α的最大似然估计量为
α??min{X1,X2,?,Xn}． - 20 -
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