上海历年中考数学压轴题复习
2001年上海市数学中考
27．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2． （1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．
图8
①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长．
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，
PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）．
27．（1）①证明：
∵ ∠ABP＝180°－∠A－∠APB，∠DPC＝180°－∠BPC－∠APB，∠BPC＝∠A，∴ ∠ABP＝∠DPC．∵ 在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴ ∠A＝∠D．∴ △ABP∽△DPC．
②解：设AP＝x，则DP＝5－x，由△ABP∽△DPC，得
ABPD25?x，即?，?x2APDC解得x1＝1，x2＝4，则AP的长为1或4．
（2）①解：类似（1）①，易得△ABP∽△DPQ，∴ 得y??x2?ABAP2x．即，??PDDQ5?x2?y125x?2，1＜x＜4． 2②AP＝2或AP＝3－5．
（题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．）
上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试
27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．
图5
探究：设A、P两点间的距离为x．
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解
图6
图7
析式，并写出函数的定义域；
（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．
（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用） 五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分） 27．
图1 图2 图3
（1）解：PQ＝PB ……………………（1分） 证明如下：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形
AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）．
∴ NP＝NC＝MB． ……………………（1分）
∵ ∠BPQ＝90°，∴ ∠QPN＋∠BPM＝90°．
而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴ ∠QPN＝∠PBM． ……………………（1分）
又∵ ∠QNP＝∠PMB＝90°，∴ △QNP≌△PMB． ……………………（1分）
∴ PQ＝PB． （2）解法一
由（1）△QNP≌△PMB．得NQ＝MP．
∵ AP＝x，∴ AM＝MP＝NQ＝DN＝
22x，BM＝PN＝CN＝1－x， 22 ∴ CQ＝CD－DQ＝1－2·
2x＝1－2x． 2 得S△PBC＝分） S△PCQ＝分）
22111x）＝－BC·BM＝×1×（1－x． ………………（12422221113212
x＋x （1x）＝－CQ·PN＝×（1－2x）（1－
422222 S四边形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝ 即 y＝分） 解法二
12
x－2x＋1． 2212
x－2x＋1（0≤x＜）． ……………………（1分，1
22 作PT⊥BC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形． ∴ PT＝CB＝PN．
又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN．
S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN 分）
＝CN＝（1－
2
…（2
2122
x）＝x－2x＋1 22 ∴ y＝
212
x－2x＋1（0≤x＜）． ……………………（1分）
22（3）△PCQ可能成为等腰三角形
①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形， 此时x＝0 ……………………（1分）
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