2．解答下列各题： (1)化简求值：
tan60°?tan45°sin45°??sin30°；
sin60°?cos30°cos45° (2)在△ABC中，∠C＝90°，化简1?2sinAcosA．
【思路点拨】
22
第(2)题可以先利用关系式sin A+cos A＝1对根号内的式子进行变形，配成完全平方的形式． 【答案与解析】
解 (1)
tan60°?tan45°sin45°??sin30°
sin60°?cos30°cos45°?3?113?31?1???1?
23233?2213- 23? (2)∵1?2sinAcosA ?sin2A?cos2A?2sinAcosA ?(sinA?cosA)2?|sinA?cosA|，
∴1?2sinAcosA???cosA?sinA(0°≤A?45°)．
?sinA?cosA(45°?A?90°)【总结升华】
2
由第(2)题可得到今后常用的一个关系式：1±2sinαcosα=(sinα±cosα)． 例如，若设sinα+cosα＝t，则sin?cos??举一反三：
【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID：408468 播放点：例1】 【变式】若sin2??【答案】
∵sin2?12(t?1)． 232，cos??sin?，(2α，β为锐角)，求tan(?)的值. 233，且2α为锐角， 2∴2α＝60°，α＝30°． ∴cos??sin??12?， 22∴β＝45°．
∴tan(?)?tan30°?
233． 33．（2015春?凉州区校级月考）如图，在锐角△ABC中，AB=15，BC=14，S△ABC=84，求： （1）tanC的值；（2）sinA的值．
ABC
【思路点拨】
（1）过A作AD⊥BC于点D，利用面积公式求出高AD的长，从而求出BD、CD、AC的长，此时再求tanC的值就不那么难了．
（2）同理作AC边上的高，利用面积公式求出高的长，从而求出sinA的值． 【答案与解析】 解：（1）过A作AD⊥BC于点D． ∵S△ABC=BC?AD=84， ∴×14×AD=84， ∴AD=12． 又∵AB=14， ∴BD=
∴CD=14﹣9=5． 在Rt△ADC中，AC=∴tanC=
=
；
=13，
=9．
AEBDC（2）过B作BE⊥AC于点E． ∵S△ABC=AC?EB=84， ∴BE=
，
∴sin∠BAC===．
【总结升华】考查了锐角三角函数的定义，注意辅助线的添法和面积公式，以及解直角三角形公式的灵活应用． 举一反三：
【变式】如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，
拟在渡口C处架桥.经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长为多少千米？(精确到0.1千米)
【答案】过点C作CD⊥AB于点D.
CD就是连接两岸最短的桥.设CD=x（千米）. 在直角三角形BCD中，∠BCD=45°，所以BD=CD=x.
在直角三角形ACD中，∠ACD=30°，所以AD=CD×tan∠ACD=x·tan30°=
x.
因为AD+DB=AB，所以x+x=3，x=≈1.9(千米).
答：从C处连接两岸的最短的桥长约为1.9千米.
类型三、解直角三角形及应用
4．如图所示，D是AB上一点，且CD⊥AC于C，S△ACD:S△CDB?2:3，cos?DCB?AC+CD＝18，求tanA的值和AB的长．
4， 5
【思路点拨】
解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程． 【答案与解析】
解：作DE∥AC交CB于E，则∠EDC＝∠ACD＝90°．
∵
CD4?cos?DCE?， CE5设CD＝4k(k＞0)，则CE＝5k，由勾股定理得DE＝3k．
∵△ACD和△CDB在AB边上的高相同，
∴AD:DB＝S△ACD:S△CDB?2:3．
55DE??3k?5k． 33CD4k4∴tanA???．
AC5k5即AC? ∵AC+CD＝18， ∴5k+4k＝18，解得k＝2． ∴AD?AC2?CD2?41k?241．
3AD＝541． 2 ∴AB＝AD+DB＝AD+【总结升华】
在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等．
5．如图所示，山脚下有一棵树AB，小华从点B沿山坡向上走50 m到达点D，用高为1.5m的测角仪CD测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB的高(精确到0.1m)．(参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)．
【思路点拨】
本题是求四边形一边长的问题，可以通过添加辅助线构造直角三角形来解． 【答案与解析】
解：如图所示，延长CD交PB于F，则DF⊥PB．
∴DF＝DB·sinl5°≈50×0.26＝13.0， CE＝BF＝DB·cos15°≈50×0.97＝48.5． ∴AE＝CE·tan10°≈48.5×0.18＝8.73．
∴AB＝AE+CD+DF＝8.734+1.54+13.0≈23.2(m)．
答：树高约为23.2 m． 【总结升华】
一些特殊的四边形，可以通过切割补图形的方法将其转化为若干个直角三角形来解． 举一反三：
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