【变式】如图所示，正三角形ABC的边长为2，点D在BC的延长线上，CD＝3．
(1)动点P在AB上由A向B移动，设AP＝t，△PCD的面积为y，求y与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
(2)在(1)的条件下，设PC＝z，求z与t之间的函数关系式．
【答案】
解：(1)作PE⊥BC于E，则BP＝AB-AP＝2-t(0≤t＜2)．
∵∠B＝60°， ∴S△PCD?113CDPE?CDBPsinB?(2?t)2223， 2即y??3333t?(0?t?2)． 4231(2?t)，BE?(2?t)． 22(2)由(1)不难得出，PE?∴EC?BC?BE?2?11(2?t)?(2?t)． 2231222222∵PC?PE?EC?(2?t)?(2?t)?t?2t?4．
44∴z?t2?2t?4(0?t?2)．
6．如图(1)所示，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子与地面的倾斜
角α为60°．
(1)求AO与BO的长．
(2)若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．
①如图(2)所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD＝2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑了多少米；
②如图(3)所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′＝15°，试求AA′的长．
【思路点拨】
（1）在直角△AOB中，已知斜边AB，和锐角∠ABO，即可根据正弦和余弦的定义求得OA，OB的长；
（2）△APO和△P′A′O都是等腰三角形，根据等腰三角形的两底角相等，即可求得∠PAO的度数， 和∠P′A′O的度数，在直角△ABO和△A′B′O中，根据三角函数即可求得OA与OA′，即可求得AA′的长． 【答案与解析】
解：(1)Rt△AOB中，∠O＝90°，α＝60°， ∴∠OAB＝30°．又AB＝4米， ∴OB＝
1AB＝2米． 23＝23(米)． 2 OA＝AB·sin 60°＝4× (2)①设AC＝2x，BD＝3x， 在Rt△COD中，
OC＝23?2x，OD＝2+3x，CD＝4， 根据勾股定理：OC+OD＝CD，
222 ∴(23?2x)?(2?3x)?4．
2
2
2
2 ∴13x?(12?83)x?0．
∵x≠0，∴13x?12?83?0．
∴x?83?12． 13163?24．
13163?24米．
13AC?2x? 即梯子顶端A沿NO下滑了 ②∵点P和点P′分别是Rt△AOB的斜边AB与Rt△A′OB′的斜边A′B′的中点， ∴PA＝PO，P′A′＝P′O．
∴∠PAO＝∠AOP，∠P′A′O＝∠A′OP′．
∴∠P′A′O-∠PAO＝∠POP′＝15°． ∵∠PAO＝30°， ∴∠P′A′O＝45°．
∴A′O＝A′B′·cos 45°＝4?2?22． 2∴AA′＝OA-A′O＝(23?22)米．
【总结升华】
解答本题的关键是理解题意．此题的妙处在于恰到好处地利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而求出∠P′A′O=45°，让我们感受到了数学题真的很有意思，做数学题是一种享受．
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