故R是对称的。
13、设A,B,C和D均是集合，R?A×B，S?B×C，T?C×D，则 (1) R?(S?T)=(R?S)?(R?T)； (2) R?(S?T)?(R?S)?(R?T)；
证明：
（1）?
同理可证（R?S）?（R?T）?R?(S?T)。 故R?(S?T)=（R?S）?（R?T）。
(2) ?
?（R?T）?（R?T）
14、设〈A,≤〉为偏序集，??B?A，若B有最大(小)元、上(下)确界，则它们是惟一的。
证明：
设a,b都是B的最大元，则由最大元的定义a?b，b?a。??是A上的偏序关
系，?a=b。即B如果有最大元则它是惟一的。
15、设A={1,2,3},写出下列图示关系的关系矩阵，并讨论它们的性质： 1 1 1
41
2 3 2 3 2 3 解：
?000???（1）R={<2,1>,<3,1>,<2,3>};MR=?101?;它是反自反的、反对称的、传递的；
?100????011???（2）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>};MR=?101?;它是反自反的、
?110???对称的；
?011???（3）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,3>};MR=?100?;它既不是自反的、反自反的、
?001???也不是对称的、反对称的、传递的。
16、设A={1,2,…,10}。下列哪个是A的划分？若是划分，则它们诱导的等价关系是什么？
（1）B={{1,3,6},{2,8,10},{4,5,7}}; （2）C={{1,5,7},{2,4,8,9},{3,5,6,10}}; （3）D={{1,2,7},{3,5,10},{4,6,8},{9}}
解：
（1）和（2）都不是A的划分。 （3）是A的划分。其诱导的等价关系是
IA?{<1,2>,<2,1>,<1,7>,<7,1>,<2,7>,<7,2>,<3,5>,<5,3>,<3,10>, <10,3>,<10,5>,<5,10>,<4,6>,<6,4>,<4,8>,<8,4>,<6,8>,<8,6>}。
42
17、R是A={1,2,3,4,5,6}上的等价关系，
R=IA?{<1,5>,<5,1>,<2,4>,<4,2>,<3,6>,<6,3>} 求R诱导的划分。
解：
R诱导的划分为{{1,5},{2,4},{3,6}}。
18、A上的偏序关系?的Hasse图如下。
（1） 下列哪些关系式成立：a?b,b?a,c?e,e?f,d?f,c?f；
（2） 分别求出下列集合关于?的极大（小）元、最大（小）元、上（下）
界及上（下）确界（若存在的话）： (a) A; (b) {b,d}; (c) {b,e}; (d) {b,d,e} a e f b d
c
解：
(1) b?a,c?e,d?f,c?f成立；
(2) (a)的极大元为a,e,f,极小元为c;无最大元，c是最小元；
无上界，下界是c;无上确界，下确界是c。 (b)的极大元为b,d,极小元为b,d;无最大元和最小元；
43
上界是e，下界是c;上确界是e，下确界是c。 (c)的极大元为e,极小元为b;最大元是e，b是最小元；
上界是e，下界是b;上确界是e，下确界是b。 (d)的极大元为e,极小元为b,d;最大元是e，无最小元；
上界是e，下界是c;上确界是e，下确界是c。
（半群与群部分）
19、求循环群C12={e,a,a2,…,a11}中H={e,a4,a8}的所有右陪集。
解：
因为|C12|=12，|H|=3，所以H 的不同右陪集有4 个：H，
{a,a5,a9},{a2,a6,a10},{a3,a7,a11}。
20、求下列置换的运算：
解：
?1234??1234??1234?（1）??2431?????4321??=??1342??
???????123456??123456??123456?（2）??452631??=??452631?????452631??
???????123456??123456??123456?=??452631?????635124??=??123456?? ??????3221、试求出8阶循环群的所有生成元和所有子群。
解：
设G是8阶循环群，a是它的生成元。则G={e,a,a2,..,a7}。由于ak是G的生成元的充分必要条件是k与8互素，故a,a3,a5,a7是G的所有生成元。
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