《离散数学》题库及答案

证明：

设e是该群的单位元。若a是的等幂元，即a*a=a。 因为a*e=a，所以a*a=a*e。由于运算*满足消去律，所以a=e。 即G除单位元以外无其它等幂元。

37、设是一个群，则对于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得a?x=b。

证明：

因为a-1*b∈G，且a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b，所以对于a,b∈G，必有x∈G，使得a?x=b。

若x1,x2都满足要求。即a?x1=b且a?x2=b。故a?x1=a?x2。 由于*满足消去律，故x1=x2。

从而对于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得a?x=b。

38、设半群中消去律成立，则是可交换半群当且仅当?a,b?S，（a·b）2=a2·b2。

证明：

（a·b）2=(a·b)·(a·b)=((a·b)·a)·b ??a,b?S，

=(a·(a·b))·b=((a·a)·b)·b=(a·a)·(b·b)=a2·b2;

? ?a,b?S，因为（a·b）2=a2·b2，所以(a·b)·(a·b)=(a·a)·(b·b)。故a·((b·a)·b)=a·(a·(b·b))。由于·满足消去律，所以(b·a)·b=a·(b·b)，即(b·a)·b=(a·b)·b。从而a·b=b·a。故·满足交换律。

39、设群除单位元外每个元素的阶均为2，则是交换群。

证明：

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对任一a?G，由已知可得a*a=e，即a-1=a。

对任一a,b?G，因为a*b=(a*b)-1=b-1*a-1=b*a，所以运算*满足交换律。 从而＜G,*＞是交换群。

40、设*是集合A上可结合的二元运算，且?a,b?A,若a*b=b*a，则a=b。试证明：

（1）?a?A,a*a=a，即a是等幂元； （2） ?a,b?A,a*b*a=a; （3） ?a,b,c?A,a*b*c=a*c。

证明：

（1）?a?A,记b=a*a。因为*是可结合的，故有b*a=(a*a)*a=a*(a*a)=a*b。由已知条件可得a=a*a。

（2）?a,b?A,因为由（1），a*(a*b*a)=(a*a)*(b*a)=a*(b*a),

(a*b*a)*a=(a*b)*(a*a)=(a*b)*a=a*(b*a)。 故a*(a*b*a)=(a*b*a)*a，从而a*b*a=a。

（3） ?a,b,c?A,（a*b*c）*（a*c）=（（a*b*c）*a）*c=(a*(b*c)*a)*c 且(a*c)*(a*b*c)=a*(c*(a*b*c))=a*(c*(a*b)*c))。

由（2）可知a*(b*c)*a=a且c*(a*b)*c=c， 故（a*b*c）*（a*c）=(a*(b*c)*a)*c=a*c 且(a*c)*(a*b*c)= a*(c*(a*b)*c))= a*c， 即（a*b*c）*（a*c）=(a*c)*(a*b*c)。 从而由已知条件知，a*b*c=a*c。

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41、设是群，作f:G?G,a?a-1。证明：f是G的自同构?G是交换群。

证明：

? 设f 是G的自同构。对?a，b?G，

a·b=(b-1·a-1)-1=(f(b) ·f(a))-1=(f(b·a))-1=((b·a)-1)-1=b·a。故运算·满足交换律 ，即G是可交换群。

?因为当a?b时，a-1?b-1，即f(a)?f(b)，故f是G到G中的一个单一函数。又对?a?G，有f(a-1)=(a-1)-1=a。故f是G到G上的满函数。从而f是G到G上的自同构。

对?a，b?G，因为G是可交换群，故f(a·b)=(a·b)-1=(b·a)-1=a-1·b-1=f(a)·f(b)。故f满足同态方程。

从而f是G 的自同构。

42、若群的子群满足|G|＝2|H|，则一定是群

的正规子群。

证明：

由已知可知，G关于H 有两个不同的左陪集H，H1和两个不同的右陪集H，H2。因为H?H1=?且H?H1=G，H?H2=?且H?H2=G，故H1=G-H=H2。

对?a?G，若a?H，则aH=H,Ha=H。否则因为a?G-H，故aH?H,Ha?H。从而aH=Ha=G-H。故H是G的不变子群。

43、设H和K都 是G的不变子群。证明：H?K也是G 的不变子群。

证明：

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因为H和K都 是G的不变子群，所以H?K是G 的子群。对?a?G，h?H?K，有a·h·a-1?a·H·a-1，·h·a-1?a·K·a-1。因为H和K都 是G的不变子群，所以a·h·a-1?H且a·h·a-1?K。从而a·h·a-1?H?K。故H?K是G 的不变子群。

44、设群G的中心为C（G）={a?G|?x?G,a·x=x·a}。证明C（G）是G的不变子群。

证明：

先证C（G）是G的子群。

，对?x?G,有a·x=x·a ，b·x=x·b。故（a·b）·x= a·(b·x)= ?a,b?C（G）

a·(x·b)=(a·x)·b=(x·a)·b=x·(a·b), a-1·x=x·a-1。从而a·b，a-1?C（G）。 故C（G）是G 的子群。

再证C（G）是G的不变子群。

对?a?G，?h?C(G)，记b=a·h·a-1。下证b?C(G)。因为h?C(G)，所以b=(a·h) ·a-1=（h·a）·a-1=h·(a·a-1)=h?C(G)。

故C（G）是G的不变子群。

45、设是没有非平凡子群的有限群。试证：G是平凡群或质数阶的循环群。

证明：

若G是平凡群，则结论显然成立。

否则设的阶为n。任取a?G且a?e,记H=（a）(由a生成的G的子群)。显然H?{e}，且G没有非平凡子群，故H=G。从而G一定是循环群，且a是G 的生成元。

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