直线与椭圆的综合导学案

直线与椭圆的位置关系

一、重点：直线与椭圆的三种位置关系，设而不求思想. 二、难点：弦长问题、最值的求法及综合运用. 三、复习回顾：直线与圆、弦长问题. 四、知识预授：

1．直线与椭圆的三种位置关系：①相交；②相切；③相离. 2．判定方法：

x2y2直线y?kx?m与椭圆a2?b2?1(a?b?0)的位置关系：

?判定方法：联立?y?kx?m??x2y2消y得关于x?a2?b2?1的一元二次方程：

??0相交 ??0相切 ??0相离

知识点一：点与椭圆

x2例1 点(0,1)在椭圆

y25?m?1内部，求m. （提示：m能等于5吗？）

知识点二：直线与椭圆

例2 当m为何值时，直线l:y?x?m与椭圆

x2y216?9?1相切、相交、相离？

知识点三：弦长问题

例3 已知斜率为1的直线l过椭圆x24?y2?1的右焦点F，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长. （提示：推推看，弦长公式是否为|AB|?1?k2|x1?x2|，利用两点间距离公式

|AB|?(x21?x2)2?(y1?y2)）

知识点四：弦中点问题

AB的中点P(x0,y0) A(x1,y1)B(x2,y2)

?x21y2?12?则??ab2?1y1?y2?b2(x1?x2)?x22 ①－②，得?2?a2?y2b2?1x?2 1?x2a(y1?y2)又∵x1?x2?2x0,y1?y2?2y0

∴y1?y2?b2x0x?a2y 1?x20例4 已知一直线与椭圆x216?y24?1交于A、B两点，弦AB中点坐标M（2，1），求直线AB的方程.(不妨试着使用k?y1?y2?b2xABxx??02) 1?2ay0

1

与椭圆有关的最值问题

1．在?ABC中，?A?90?,tanB?

x2y2??1内有一点P(1,?1)，F是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M使 例5 已知椭圆43|MP|?2|MF|值最小，求M坐标.

（提示：若设M(x,y)，求出|MP|?2|MF|再计算最小值是比较复杂的，由于|MF|是椭圆上一点到焦点的距离，考虑一下它与到直线x?4的距离的关系，可否把2|MF|转化成到直线x?4的距离呢！祝你成功）

例6 如下图，已知椭圆x2?8y2?8，在椭圆上求一点P，使P到直线l:x?y?4?0的距离最小，并求出最小值。

（此题与上一题不一样呦，P到x?y?4?0的距离最小借助图形观察一下，过P的直线与已知直线

3，若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则椭圆的离心率e? 4x2y2??1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、2．过椭圆B两点，O为坐标原点，则?OAB54的面积为

x2y2??1内的一点A(2,?1)为中点的弦所在的直线方程. 3．求以椭圆85

x2?y2?1的左焦点F引一倾斜角为60?的直线，求以此直线与椭圆两交点及椭圆中心为顶4．过椭圆2点的三角形面积.

x2y22

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为，分别

ab2过点O，F的两条弦AB，CD相交于点E(异于A，C两点)，且OE＝EF.

(1)求椭圆的方程；(2)求证：直线AC，BD的斜率之和为定值． c2

解：(1)由题意得c＝1，e＝＝，故a＝2，

a2从而b2＝a2－c2＝1， x22

所以椭圆的方程为＋y＝1.

2

① ② ③

x?y?4?0有什么关系.）

知能提升

2

(2)证明：由题意可设直线AB的方程为y＝kx， 直线CD的方程为y＝－k(x－1)，

由①②得点A，B的横坐标为±

2

2k2＋1

， 由①③得点C，D的横坐标为2k2±2?k2＋1?

2k2＋1

，

设A(x1，kx1)，B(x2，kx2)，C(x3，k(1－x3))，D(x4，k(1－x4))，则直线AC，BD的斜率之和为 kx1－k?1－x3?kx2－k?1－x4?

x－x＋13x2－x4

＝k·?x1＋x3－1??x2－x4?＋?x1－x3??x2＋x4－1??x1－x3??x2－x4?

＝k·2?x1x2－x3x4?－?x1＋x2?＋?x3＋x4??x1－x3??x2－x4?

2

2

2??－2＝k·?2k2＋1－2k－22k2＋1???

－0＋4k2k2＋1?x1－x3??x2－x4?

4k24k2

－＝k·2k2＋1＋2k2＋1?x1－x3??x2－x4?

＝0.

即直线AC，BD的斜率之和为定值．

2．(2014·苏北三市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2＋y2

b2＝1(a>b>0)的焦距为2，

且过点?2，

6?

2??. (1)求椭圆E的方程．

(2)若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M.

①设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；

②设过点M垂直于PB的直线为m，求证：直线m过定点，并求出定点的坐标． 解：(1)由题意得2c＝2，所以c＝1.又23

a2＋2b

2＝1，

消去a得2b4－5b2－3＝0，解得b2＝3或b2＝－1

2(舍去)，则a2＝4，

2

2

所以椭圆E的方程为xy

4＋3

＝1.

(2)①设P(xyky1，y1)(1≠0)，M(2，y0)，则B(2,0)，1＝0y12，k2＝x，

1－2因为A，P，M三点共线，所以y4y0＝1x，

1＋2所以ky2＝0y14y21k12?x＝1－2?2?x21－4?

.

因为P(xy23

1，y1)在椭圆上，所以1＝4(4－x21)， 所以k4y21k2＝132?x2＝－1－4?

2，为定值．

②直线BP的斜率为ky2＝12－x12－x1x2，直线m的斜率为km＝，则直线m的方程为y－y1－y10＝y1(x－

2)，

y＝2－x1y1(x－2)＋y2－x12?2－x1?4y0＝1y1x－y＋1x1＋2

＝2－x12?x21－4?＋4y21y1x＋?x1＋2?y1

＝2－x12?x21－4?＋2y1x＋12－3x1?x1＋2?y1

＝

2－x12－x12－y1x＋y＝x1

1y1

(x＋1)， 所以直线m过定点(－1,0)．

．(2013·南京、淮安二模)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2aaa2＋y2

3b2＝1(a>b>0)过点A??2，2??和点B(3，1)．

(1)求椭圆C的方程．

(2)已知点P(x0，y0)在椭圆C上，F为椭圆的左焦点，直线l的方程为x0x＋3y0y－6＝0. ①求证：直线l与椭圆C有唯一的公共点；

②若点F关于直线l的对称点为Q，求证：当点P在椭圆C上运动时，直线PQ恒过定点，并求出此定点的坐标．

???a?2??2?a＋?2??2解：(1)由题意得

?a2b2＝1，

解得???a＝6，???31?

b2＝2.

a2＋b2＝1，

2

3

22

所以所求椭圆C的方程为x6＋y

2

＝1.

?2

2

(2)①联立方程组?xy?6＋2＝1，

消去y得

??x0x＋3y0y－6＝0，

(x20＋3y20)x2－12x0x＋36－18y2

0＝0.(*)

由于点P(xx2y20，y0)在椭圆C上，所以00

6＋2

＝1，即3y20＝6－x20.故(*)式可化为x2－2x0x＋x20＝0. 因为Δ＝(－2x0)

2

－4x20＝0，所以原方程组仅有一组解，显然

x＝x0，y＝y0是方程组的解，

所以直线l与椭圆C有唯一的公共点．

②点F的坐标为(－2,0)，过点F且与直线l垂直的直线的方程为3y0x－x0y＋6y0＝0.

6x0－18y2x＝0由???

x0x＋3y0y－6＝0，

x20＋9y2，0

?3y解得?

?

0x－x0y＋6y0＝0

????y＝18y＋6xy

x20

＋9y2000

0

.

因为点P(xx2y2

0，y0)在椭圆6＋2＝1上，

?3x03y2

＝6－x，所以?x＝－6?3－x，所以00

20

??y＝3y

03－x0

.

所以点F(－2,0)关于直线l的对称点的坐标为Q??4x0－6?3－x，6y0－x?030?

?

.

6y0当x3－x－y00y0≠2时，kPQ＝04x6＝0－. 3－x－xx0－2

00

所以直线PQ的方程为y－yy0＝0

x0－2

(x－x0)， 即(x－2)y0－yx0＋2y＝0.

所以???x－2＝0，??

y＝0，

即直线PQ过定点(2,0)．

当x6

0＝2时，y0＝±3

，此时点Q的坐标为(2，±26)，直线PQ过点M(2,0)．

综上，直线PQ恒过定点(2,0)．

x2y2

(2013·常州期中)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(4m,0)(m>0，m

为常数)，离心率等于0.8，过焦点F，倾斜角为θ的直线l交椭圆C于M，N两点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若θ＝90°时，1MF＋152

NF＝9，求实数m的值；

(3)试判断

1MF＋1

NF

的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论． [解] (1)因为c＝4m，椭圆离心率e＝c4

a＝5，

所以a＝5m，所以b＝3m.

x2y2

所以椭圆C的标准方程为25m2＋9m2＝1.

在椭圆方程x225m2＋y2

(2)9m2＝1中，

令x＝4m，解得y＝±9m

5

. 因为当θ＝90°时，即直线MN⊥x轴，

此时MF＝NF＝9m

5.

所以1MF＋1NF＝109m

.

因为1MF＋1NF＝529，所以10529m＝9，解得m＝2. (3)1MF＋1

NF的值与θ的大小无关． 证明如下：

法一：设点M，N到右准线的距离分别为d1，d2. 因为MF4NF4115d＝5，d＝，所以＋＝4?1?d＋1?125MFNF1d2?. 又由图可知，MFcos θ＋da29m

1＝c－c＝4，

所以d41??5cos θ＋1??＝9m4，即1d＝4?4

19m?5

cos θ＋1??. 4

同理，144d＝?29m?5cos?π－θ?＋1??＝4

9m??－45cos θ＋1??. 所以1144448d＋＝?1d29m?5cos θ＋1??＋9m??－5cos θ＋1??＝9m. 所以1MF＋1NF＝54·89m＝10

9m.

显然该值与θ的大小无关．

法二：当直线MN的斜率不存在时，由(2)知，1MF＋1

NF

的值与θ的大小无关； 当直线MN的斜率存在时， 设直线MN的方程为y＝k(x－4m)， x2y2

代入椭圆方程25m2＋9m2＝1，得

(25k2＋9)x2－200mk2x＋25m2(16k2－9)＝0. 设点M(x1，y1)，N(x2，y2)． 因为Δ>0恒成立，

所以x200mk2

25m2?16k2－9?1＋x2＝25k2＋9，x1·x2＝25k2＋9.

因为MF25m＝4，NF＝4

，4－x525m5

14－x2所以MF＝5m－45x41，NF＝5m－5x2.

所以1MF＋1NF＝1＋1

5m－45x－4

15m5

x2

10m－4

＝

5

?x1＋x2?

16 25x1x2

－4m?x1＋x2?＋25m2

＝90k2＋9081mk2＋81m＝109m. 显然该值与θ的大小无关．

5