对外经济贸易大学信息学院 微积分二 期末考试试卷A
对外经济贸易大学 2007─2008学年第二学期 《微积分二》期末考试试卷A
课程课序号：CMP124－0～15
学号： 姓 名： 成 绩： 班级： 课序号： 任课教师：
题号 分值 得分 一 14 二 21 三 43 四 10 五 12 合计 100 一、选择题（每小题2分，共14分）： 得分 1．若函数f(x)在区间[a，b]上可积，则下列不等式中成立的是（ A ）。
A.C.?babf(x)dx??f(x)dxabB.?f(x)dx??f(x)dxaabb
?af(x)dx??f(x)dxabD.lnx?baf(x)dx??f(x)dxab2. 设f(x)为连续函数，F(x)??1xf(t)dt,则F?(x)?（ A ）。
B． f(lnx)?f()
A.
111f(lnx)?2f() xxx1xC.
1111f(lnx)?2f() D．f(lnx)?f() xxxx?0,y0),f(x?0,y0)存在是函数 3．二元函数f?x,y?在点?x0,y0?处的两个偏导数f(xxyf(x,y)在点(x0,y0)连续的（ D ）。
A. 必要而非充分条件； B. 充分而非必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分又非必要条件。
?4．设f(x,y)为连续函数，则
?40d??f(rcos?,rsin?)rdr等于（ C ）。
01 A．
?220dx?1?x2xf(x,y)dy.
B.
?220dx?1?x20f(x,y)dy.
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C.
?220dy?1?y2yf(x,y)dx.
D.
?220dy?1?y20f(x,y)dx.
5．函数y?c1e的通解。
?x?c2e2x(c1,c2为任意常数）为下列二阶常系数齐次线性微分方程（ D ）
B. y???y??2y?0 D. y???y??2y?0
A. y???y??2y?0 C. y???y??2y?0
n6．设un???1?ln(1?1)，则下列结论中正确选项是( B )。 n都收敛. B.
A.
?un?1??n与
?un?1??2n?un?1??n收敛，
?un?1??2n发散
C.
?un?1n与
?un?12n都发散 D.
?un?1n发散，
?un?12n收敛
7．设级数
1na(1?)an（ C ）绝对收敛，则。 ??nnn?1n?1??A．发散 B．条件收敛 C．绝对收敛 D． 敛散性不能判定
二、填空题（每小题3分，共21分） 得分
?12 1.设f(x)??1?xf(t)dt,则f(x)?_________.?4??1?x202.曲线y?ex和y?e?x,及直线x?2所围图形的面积为_________.e2?e?2?2
3．设f(x,y)?x(y?1)?(x?1)tan3231y,则fy(1,0)? 。2 x4．设z?ln1?x2?y2,则dz??x?1y?11? 。(dx?dy)
35．广义积分
?e1dx= 1 。 2x(lnx)16．交换二重积分次序dy0???2?y2y1f(x,y)dx=_____ 。?dx?0x220f(x,y)dy??dx?12?x20f(x,y)dy
(x?a)n7．若级数?在x?2收敛，则实数a的范围是 . 1?a?3
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三、计算题（1-6题每题6分，第7题7分，共计43分） 得分
?2zex21.设 z?yf(,x)，且函数f具有二阶连续的偏导数，求。
?x?yy?zex解:?y(f1'?2xf2')?exf1'?2xyf2' 3分
?xy??2zexexx??e??2f11??2xf2?2xy2f21 3分 ?x?yy?y?2．设函数u?f(x,y，z)有连续偏导数，且z?z(x,y)由方程xe?ye?ze确定，求du. 解1. 由隐函数求导公式，令F(x,y,z)?xe?ye?ze，则
xyzxyzFx?ex?xex,Fy??ey?yey,Fz??ez?zez, 1分 FyFx?1x?z?z?zy?1y?z??x?e,????e. 2分 ?xFzz?1?yFzz?1?u?zx?1x?z?u?zy?1y?z?fx?fz??fx?fz?e,?fy?fz??fy?fz?e. 2分 ?x?xz?1?y?yz?1?u?ux?1x?z?y?1y?z???dx?dy??fx?fz?e?dx??fy?fz?e?dy. 1分 ?x?yz?1z?1????而
所以du?解2.直接求微分，由u?f(x,y，z)得du?fxdx?fydy?fzdz 1分 再对xe?ye?ze两边微分 1分
xyzexdx?xexdx?eydy?yeydy?ezdz?zezdz,
1?x?exdx??1?y?eydy?, 2 分 得dz?z?1?z?e将上式代入du?fxdx?fydy?fzdz并整理得
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x?1x?z?y?1y?z???du??fx?fz?e?dx??fy?fz?e?dy. 2分
z?1z?1????3．计算二重积分解：
??(x?y)dxdy,其中D由直线y?x,y?2x,y?1围成。D??(x?y)dxdy???xdxdy???ydxdy. 2分
DDD1???ydxdy?. 3分
3D4．计算二重积分成的平面区域。
???Dx2?y2dxdy，其中D为由圆x2?y2?4x,及直线 y?0,y?3x?0所围
解：
??Dx?ydxdy??3d??0222cos?0r2dr 3分
8???3cos3?d??3. 3分 301 展开成 x 的幂级数。
1?x?2x211解：f(x)???
12(x?)(x?1)2112x?1122 ---------------3分 ?????1144(x?)(x?1)(x?)(x?1)221111 ?????31?2x31?x11???(1?2x?(2x)2???(?1)n(2x)n??)??(1?x???xn??)------3分
335．将函数 f(x)?6．求微分方程xy??y?xe满足初始条件y解： 将方程变形为y??xx?1?1的特解。
1y?ex， x1,q(x)?ex, 2分 x于是该方程为一阶线 性微分方程，p(x)?方程的通解为
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