重点高中自主招生数学试题4
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
1．已知抛物线的解析式为y=﹣（x﹣3）2+1，则它的顶点坐标是（ ） A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（3，﹣1） D．（1，3）
2．如图，在⊙O中A、P、B、C是⊙O上四个点，已知∠APC=60°，∠CPB=50°，则∠ACB的度数为（ ） A．100° B．80° C．70° D．60°
3．（2007?内江）用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（ ） A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6
4．若一个三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
5．给出下列命题：其中，真命题的个数是（ ） （1）平行四边形的对角线互相平分；（2）对角线相等的四边形是矩形； （3）菱形的对角线互相垂直平分；（4）对角线互相垂直的四边形是菱形． A．4 B．3 C．2 D．1
6．在新年联欢会上，九年级（6）班的班委设计了一个游戏，并给予胜利者甲、乙两种不同奖品中的一种．现将奖品名称写在完全相同的卡片上，背面朝上整齐排列，如图所示．若阴影部分放置的是写有乙种奖品的卡片，则胜利者小刚同学得到乙种奖品的概率是（ ）
7．（2005?四川）在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA=，那么AC边的长是（ ）
A．6 B．2 C．3 D．2
8．某市2004年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ） A．300（1+x）=363 B．300（1+x）2=363 C．300（1+2x）=363 D．363（1﹣x）2=300
9．如图，EF是圆O的直径，OE=5cm，弦MN=8cm，则E，F两点到直线MN距离的和等于（ ） A．12cm B．6cm C．8cm D．3cm 10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①c＞0；②a+b+c＜0；③ab＜0；④b2﹣4ac＞0，其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共5道小题，每小题3分，共15分.） 11．方程3（x﹣5）2=2（5﹣x）的解是 _________ ． 12．（2008?宁夏）从﹣1，1，2三个数中任取一个，作为一次函数y=kx+3的k值，则所得一次函数中y随x的增大而增大的概率是 _________ ．
13．一个点到一个圆的最短距离是3cm，最长距离是5cm，则这个圆的半径是 _________ cm．
A． B． C． D．
14．一个人沿坡度比为1：的斜坡前进10米，则他升高 _________ 米．
15．（2007?莆田）如图，点A为反比例函数y=的图象上一点，B点在x轴上且OA=BA，则△AOB的面积为 _________ ．
16．已知0°＜∠α＜90°且cosα=
，那么tanα= _________ ．
17．（2009?大兴安岭）梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=4，∠C=70°，∠B=40°，则AB的长为 _________ ．
18．（2009?内江）已知5x2﹣3x﹣5=0，则5x2﹣2x﹣
= _________ ．
19．（2010?衡阳）如图，已知双曲线y=（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k= _________ ． 20．如图，在△ABC中，∠C=60°，以分别交AC，BC于点D，E，已知圆O的半径为的长为 _________ ．
三、解答题（共21分，每小题21分） 21．（1）计算：（﹣2010）0+
﹣2sin60°﹣3tan30°+
；
．则DE
（2）解方程：x2﹣6x+2=0；
（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．
①若﹣1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
②证明：对于任意实数m，函数y=x2﹣mx﹣2的图象与x轴总有两个交点．
四、解答题（每小题8分，共16分） 22．（2008?白银）小明和小慧玩纸牌游戏．如图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小明先从中抽出一张，小慧从剩余的3张牌中也抽出一张． 小慧说：若抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；否则，我获胜． （1）请用树状图表示出两人抽牌可能出现的所有结果；
（2）若按小慧说规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．
23．如图，一艘渔船位于海洋观测站P的北偏东60°方向，渔船在A处与海洋观测站P的距离为60海里，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海洋观测站P的南偏东45°方向上的B处．求此时渔船所在的B处与海洋观测站P的距离（结果保留根号）． 五、（每小题9分，共18分）． 24．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数x轴、y轴于D、C两点．
的图象交于A（﹣6，2）、B（4，n）两点，直线AB分别交
（1）求上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）若AD=tCD，求t． 25．（2003?海南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于点E，F在DE上，并且AF=CE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请证明你的结论； （3）四边形ACEF有可能是矩形吗？为什么？ 26．（2009?三明）为把产品打入国际市场，某企业决定从下面两个投资方案中选择一个进行投资生产．方案一：生产甲产品，每件产品成本为a万美元（a为常数，且3＜a＜8），
每件产品销售价为10万美元，每年最多可生产200件；方案二：生产乙产品，每件产品成本为8万美元，每件产品销售价为18万美元，每年最多可生产120件．另外，年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．在不考虑其它因素的情况下：
（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1、y2与相应生产件数x（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；
（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？
27．在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60° ①求证：△BDE是等边三角形；
②若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想； ③在②的条件下当CE=4时，求四边形ABDC的面积． 28．（2009?株洲）如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D． （1）求点A的坐标（用m表示）； （2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC（AC+EC）为定值．
重点高中自主招生数学试题4参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
1．已知抛物线的解析式为y=﹣（x﹣3）2+1，则它的顶点坐标是（ ） A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（3，﹣1） D．（1，3） 考点：二次函数的性质。
分析：利用二次函数的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），顶点坐标是（h，k）进行解答． 解答：解：∵抛物线的解析式为y=﹣（x﹣3）2+1， ∴抛物线的顶点坐标是（3，1） 故选：A．
点评：本题主要是对抛物线中顶点式的对称轴，关键是熟练掌握：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．
2．如图，在⊙O中A、P、B、C是⊙O上四个点，已知∠APC=60°，∠CPB=50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．100° B．80° C．70° D．60° 考点：圆周角定理；三角形内角和定理。
分析：根据同圆中同弧所对的圆周角相等，可得∠BAC=∠BPC=50°，∠ABC=∠APC=60°，在△ABC中，利用三角形内角和等于180°，可求∠ACB．
解答：解：∵∠APC=60°，∠CPB=50°，∠BAC=∠BPC，∠ABC=∠APC， ∴∠BAC=50°，∠ABC=60°，
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°． 故选C．
点评：本题利用了同圆中同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理． 3．（2007?内江）用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（ ） A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6 考点：解一元二次方程-配方法。 专题：配方法。
分析：在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方． 解答：解：把方程x2﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=﹣2 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣2+4 配方得（x﹣2）2=2． 故选A．
点评：配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．若一个三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
考点：三角形的外接圆与外心。
分析：根据直径所对的圆周角是直角得该三角形是直角三角形．
解答：解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部；
由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形． 故选：B．
点评：此题主要考查了三角形的外接圆与外心，关键掌握直角三角形的外心就是其斜边的中点．
5．给出下列命题：其中，真命题的个数是（ ） （1）平行四边形的对角线互相平分；（2）对角线相等的四边形是矩形； （3）菱形的对角线互相垂直平分；（4）对角线互相垂直的四边形是菱形． A．4 B．3 C．2 D．1
考点：矩形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定与性质。 专题：证明题。
分析：根据平行四边形、菱形、矩形的相关知识进行解答． 解答：解：（1）是平行四边形的性质，故（1）正确；
（2）对角线相等且互相平分的四边形是矩形；故（2）错误； （3）是菱形的性质，故（3）正确；
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故（4）错误； 因此正确的结论是（1）（3）；故选C．
点评：熟练掌握各种特殊四边形的判定和性质是解答此类题的关键．
6．在新年联欢会上，九年级（6）班的班委设计了一个游戏，并给予胜利者甲、乙两种不同奖品中的一种．现将奖品名称写在完全相同的卡片上，背面朝上整齐排列，如图所示．若阴影部分放置的是写有乙种奖品的卡片，则胜利者小刚同学得到乙种奖品的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：几何概率。
分析：根据几何概率的定义，面积比即为概率． 解答：解：阴影部分占总面积的比值为
，
∴胜利者小刚同学得到乙种奖品的概率是．
故选B．
点评：本题将概率的求解设置于现将奖品名称写在完全相同的卡片中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
7．（2005?四川）在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA=，那么AC边的长是（ ） A．6 B．2 C．3 D．2考点：解直角三角形。
分析：根据三角函数的定义及勾股定理求解． 解答：解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=4，
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