高中数学常用公式及常用结论

高中数学常用公式及结论

1. 元素与集合的关系

x?A?x?CUA,x?CUA?x?A. 2.德摩根公式

CU(AIB)?CUAUCUB;CU(AUB)?CUAICUB.

3.包含关系

AIB?A?AUB?B?A?B?CUB?CUA ?AICUB???CUAUB?R

4.集合中元素的个数

card(AUB)?cardA?cardB?card(AIB)

card(AUBUC)?cardA?cardB?cardC?card(AIB)

?card(AIB)?card(BIC)?card(CIA)?card(AIBIC).

nnn 5．集合{a1,a2,L,an}的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1个；非空的真子集

有2–2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)?ax?bx?c(a?0); (2)顶点式f(x)?a(x?h)?k(a?0); (3)零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0). 7.解连不等式N?f(x)?M常有以下转化形式

22nN?f(x)?M?[f(x)?M][f(x)?N]?0

8.方程f(x)?0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)?0不等价,前者是后者的一个必要而不是

2充分条件.特别地, 方程ax?bx?c?0(a?0)有且只有一个实根在(k1,k2)内,等价f(k1)f(k2)?0.

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在x??2b处及区间的两端点处取得，具2a体如下：

(1)当a>0时，若x??bb??p,q?，则f(x)min?f(?),f(x)max?max?f(p),f(q)?； 2a2ab??p,q?，f(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?. 2abb??p,q?，则f(x)min?min?f(p),f(q)?，若x????p,q?，则(2)当a<0时，若x??2a2af(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?.

x??10.真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假

11.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 小于 对所有x， 成立 对任何x， 不成立 不大于 不小于 存在某x， 不成立 至少有n个 至多有n个 p或q 至多有（n?1）个 至少有（n?1）个 ?p且?q 存在某x， 成立 p且q ?p或?q

14.四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 151充要条件

（1）充分条件：若p?q，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若q?p，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 13.函数的单调性

(1)设x1?x2??a,b?,x1?x2那么

f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数；

x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函数. (x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?x1?x2(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减

(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?函数.

14.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数

y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数.

15．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

16.若函数y?f(x)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a)；若函数y?f(x?a)是偶函数，则

f(x?a)?f(?x?a).

17.对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x?数y?f(x?a)与y?f(b?x) 的图象关于直线x?a?b;两个函2a?b对称. 2a18.若f(x)??f(?x?a),则函数y?f(x)的图象关于点(,0)对称; 若f(x)??f(x?a),则函数y?f(x)2为周期为2a的周期函数.

nn?1 19．多项式函数P(x)?anx?an?1x?L?a0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零 20.函数y?f(x)的图象的对称性

(1)函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x)

?f(2a?x)?f(x).

(2)函数y?f(x)的图象关于直线x?a?b对称?f(a?mx)?f(b?mx) 2?f(a?b?mx)?f(mx).

21.两个函数图象的对称性

(1)函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称.

a?b对称. 2m22.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图象.

(2)函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x? .

23.几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)?cx,f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c.

(2)指数函数f(x)?a,f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0.

(3)对数函数f(x)?logax,f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1).

'(4)幂函数f(x)?x,f(xy)?f(x)f(y),f(1)??.

x?(5)余弦函数f(x)?cosx,正弦函数g(x)?sinx，f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y),且f(0)=1. 24.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=a； （2) f(x)+f(x+a)=0

1(f(x)?0)， f(x)1或f(x?a)??(f(x)?0)

f(x)1(f(x)?0)，则f(x)的周期T=3a； (3)f(x)?1?f(x?a)f(x1)?f(x2)(4)f(x1?x2)?且f(a)?1(f(x1)?f(x2)?1,0?|x1?x2|?2a)，则f(x)的周期T=4；

1?f(x1)f(x2)(5)f(x?a)?f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=6a.

或f(x?a)?25.分数指数幂 (1)a(2)amn??1n?mnam1amn（a?0,m,n?N，且n?1）. （a?0,m,n?N，且n?1）.

??26．根式的性质 （1）(na)n?a.

（2）当n为奇数时，a?a；

nn?a,a?0当n为偶数时，a?|a|??.

?a,a?0?nn27．有理指数幂的运算性质 (1) a?a?arsrrsrrrsr?s(a?0,r,s?Q).

(2) (a)?a(a?0,r,s?Q). (3)(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q).

28.指数式与对数式的互化式

logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0).