等差数列求和的几种方法 

数列求和的几种情形

Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d am-an??m?n?d 22一、分组法

例1 求Sn?1?3?5?7?

变式练习1：已知数列?an?的前n项和Sn?n2?50n，试求： （1）an的通项公式;

（2）记bn?an，求?bn?的前n项和Tn

二、倒序相加

1

?(?1)n?1(2n?1).

n个2Sn??a1?an??(a1?an)??(a1?an)

?n(a1?an)

Sn?n(a1?an) 22o2o2o2o例2 求sin1+sin2+sin3+.......sin89

三、错位相减

an?a1qn?1a1(1?qn)a1?anq?(q?0且q?1 ) Sn?1-q1-q例3 Sn?1?2x?3x2?

?nxn?1(x?0)

变式练习3（1）已知数列?an?的通项an?n.2n，求其n项和Sn

2

?1?（2）已知数列?an?的通项an??2n?1?.??，求其n项和Sn

?3?

四、裂项相消

例4 已知数列{an}的通项公式为an?

变式练习4:（1）

n1,求前n项和.

n（n+1）111???1?32?43?5?1.

n?(n?2)3

（2）求数列

1111,,,...,,...的前n项和Sn

1?22?32?3n?n?1在数列?an?中，a1?1,an?an?1?1,?n?2?n?n?1?

?1?写出数列的前5项；?2?求数列?an?的通项公式.

已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。

4

111，1??，……， 2241111??+……+n?1的和.

242111解：∵ an?1????n?1

24211?()n2?2?1 ?n?1121?2111∴Sn?1?(1?)?(1??)?

224111?(1????n?1)

24211?(2?1)?(2?)?(2?2)

221??(2?n?1)

2111?2n?(1????n?1)

2421?2n?2?n?1

2求数列1，1?

解：①若x=1，则Sn=1+2+3+…+n = ②若x≠1,则Sn?1?2x?3x2? xSn?x?2x2?3x3?两式相减得：

n(n?1) 2?nxn?1

?nxn

(1?x)Sn?1?x?x2+…+xn?1?nxn

1?xn?nxn ?1?x1?xnnxn∴ Sn? ?2(1?x)?1x

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