3.自然数 N =10x+ y（x是非负整数，y是 N 的个位数字），求证：13 N的充要条件是 13 （x+4y）. 4.用割（尾）减法判断下列各数能否被 31，41，51整除：26691，1076537，1361241
5.有 15 位同学，每位同学都有编号，他们是 1 号到 15 号 .1 号同学写了一个自然数，2号说“这个数能被 2整除”，3号说“这个数能被 3整除”……依此下去，每位同学都说这个数能被他的编号整除 .1 号做了一一验证，只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对 .问：（1）说得不对的两位同学的编号是什么数？（2）如果 1号写的数是 5位数，这个 5位数是多少？ 6.请填出下面购物表格中□内的数字： 品名 课桌 课椅 数量 72 77 单价（元） □.□□ □.□□ 总价（元） □□7.7□ 3□□.□□ □□3□.55 合计金额（元） 7. 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 4 12 米，黄鼠狼每次跳 2 34米，它们每秒钟都只跳一次，比赛途中，从起点开始，每隔 12 38米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？
8. 大雪后的一天，大亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，大亮每步长 54厘米，爸爸每步长 72厘米 .由于两人脚印有重合，所以雪地上只留下 60 个脚印，求花圃的周长 .
9. 设 a，b是自然数，a + b=33，［a，b］=90，求（a，b）.
10. 一公路由 A 经 B 到 C，已知 A、B 相距 280 米，B、C 相距 315米，现在路边植树，要求相邻两树间的距离相等，并要求在 B 点、AB、BC 的中点上都要植上一棵树，那么两树间的距离最多有多少米？
11. 一袋糖不足 60 块，如果把它平均分给几个孩子，则每人恰好分得 6块；如果只分给这几个孩子中的男孩，则每个男孩恰好分得 10块 .这几个孩子中有几个女孩？
12. 爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的 7 倍，过几年是你的 6倍，再过若干年就分别是你的 5 倍、4 倍、3 倍、2 倍 .”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？ 习题 1-3解答
1.（1）1. 用辗转相除法 （2）1260. （3）73. 用辗转相除法
nn?an??anbbnn2. 证： 由定理1.14?a,b?????a,b?,?a,b????,n?nn??a,b?n??a,ba,ba,b?????????nn?n??a,b?， ???a?而由定理1.13, ?a,b??1，从而由定理1.21推论3，????a,b??a,b?????a,b???????n?b?,????a,b??n?=1。 ???∴（an，bn）=（a，b）n，再由定理1.19,［a，b］（a，b）= a b，等式两边同时n次方，得
[a，b］n（a，b）n = a n b n， 同样由定理1.19， ［an，bn］（an，bn）= an bn，
∴ ［a，b］n（a，b）n =［an，bn］（an，bn）； ∴ ［a，b］n =［an，bn］。 3. 利用10x+ y= 10（x+4y）－39y.
4. 31| 26691，41|26691，51|26691；31|1076537，41|1076537，51|1076537；31|1361241，41|1361241，51|1361241.
以51为例，51|26691?51|(2669－1×5)；又51|2664 ?51|(266－4×5)；显然51|246 。51|1361241?51|(136124－1×5)，又51|136119?51|(13611－9×5)，又51|13566?51|(1356－6×5)，又51|1326?51|(132－6×5)，而51|102。
5. （1）这两个连续的编号的倍数应该大于15, 否则编号是它们的倍数的同学说的也不对； 而且是这两个连续的编号的质因数的次数应该高于比它小的数，否则编号是它们的质因数的同学中至少也有一个说的也
不对。因此只能是8，9.
（2）60060；因为1号写的数是2到15除8，9之外的整数的公倍数，也就是3，4，5，7，11，13的公倍数，3，4，5，7，11，13两两互质，它们的最小公倍数60060就是5位数。
6. 72=8×9,8,9互质，故总价必为8，9的倍数，可推得为 707.76元，因而知课桌的单价为9.83元；课椅的总价为 3□□.79元，由77=7×11推得另两个数字,即课椅总价为 328.79元，再得课椅单价为 4.27 元；合计金额为 1036.55元 .
7. 4500,12375?49500,2750,12375?24750,24750较小，24750?2750?9. 黄鼠狼在第9跳掉进陷阱，此时狐狸跳了4.5×9 = 40.5米 . 8. [54，72]=216，每216厘米有脚印
????216216??1?6个，故花圃的周长2160厘米 . 54729. 此题应该先讨论a + b，［a，b］与（a，b）的关系。 ( 33, 90 ) = 3, 所以 ( a, b ) = 3.
10. 因为AB、BC 的中点上都要植上一棵树，315÷2=157.5因此应考虑1400和1575的最大公约数175。最后答案：两树间的距离最多有17.5米 . 11. 2个 .
12. 设小明 x岁，则爷爷 7x岁，7x +h =6(x+h) , x=5h; 7x +k =5(x+k) , x=2k; 7x +i =4(x+i) , x=i; 7x +j =2(x+j) , 5x=j; 知小明年龄是2, 5的倍数。因此小明 10岁，爷爷 70岁. 习题 1-4
1.把下列各数分解质因数：2001，26840，111111
2.将 85，87，102，111，124，148，154，230，341，354，413，667分成两组（每组 6个数），怎么分才能使每组各数的乘积相等？
3.要使下面四个数的乘积的最后 4个数字都是 0，括号中最小应填什么自然数？975×935×972×（）. 4.用分解质因数法求：（1）（4712，4978，5890）；（2）［4712，4978，5890］.
5.若 2836，4582，5164，6522 四个数被同一个自然数相除，所得余数相同，求除数和余数各是多少？ 6.200以内仅有 10个正约数的自然数有几个？并一一求出 . 7.求：（1）%（180）；（2）&（180）；（3）&1（180）. 8.已知［A，B］=42，［B，C］=66，（A，C）=3，求 A，B，C .
9.一个自然数有 21个正约数，而另一个自然数有 10个正约数，这两个数的标准分解式中仅含有不大于 3的质因数，且这两个数的最大公约数是 18，求此两数是多少？
10.小明有一个三层书架，他的书的五分之一放在第一层，七分之几（这个几记不清了）放在第二层，而第三层有书 303本，问小明共有书多少本？
11.某班同学（50人左右）在王老师带领下去植树，学生恰好能分成人数相等的 3 组，如果老师与学生每人种树的棵数一样多，共种了884棵，那么每人种多少棵树？
12.少年宫游乐厅内悬挂着 200个彩色灯泡，这 200个灯泡按 1耀200编号，它们的亮暗规则是：第 1秒：全部灯泡变亮；第 2秒：凡编号为 2的倍数的灯泡由亮变暗；第 3秒：凡编号为 3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮 .一般地，第 n 秒凡编号为 n 的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。这样继续下去，每 4分钟一个周期，问第 200 秒时，明亮的灯泡有多少个？ 习题 1-4解答
1. 2001= 3×23× 29， 26840= 23×5×11× 61， 111111= 3× 7×11×13× 37.
2. —组为：85，111，124，154，354，667；另一组为：87．102，148，230，341，413． 3．20．四个数分解质因数后一共应该有且 且只有4个2与4个5，需补充2个2与1个5。 4．(1)38， (2)3086360．
5．除数为l或2时，余数为0；除数为97时，余数为23；除数为194时，余数为120．
6．有5个，10=2×5=1×10因此所求的数应该为ab或c后者即令c=2也已经超出200,因此分别令
49a=2.b=3; a=2.b=5; a=2.b=7; a=3,b=2; a=2.b=11; 得48，80，112，162，176． 7．(1)18． (2)546 (3)180'． 8．因为B |
?B,C? , B |?A,B?, 所以B是66，42的公约数，因而B是6的约数。又
?A,B??42?2?3?7,所以7|A，11|C，从而设
因为若B不含2知?2??2?1,且?1?1。因为?B,C??66?2?3?11,A?2?13?27,B?2?13?2,C?2?13?211, 由?A,C??3,的话，由
?B,C??66,?A,B??42，A，C就必须同时含2, 与?A,C??3矛盾。
B?2?3?2,C?2?1?3?11,?1,?2,?1?1,0,而且?1与?1不能同时为1.
∴A?2?1?3?7,于是?2?1和0时,各有?1?1,?1?0;?1?0,?1?0;?1?0,?1?1三种情况,共得6组解，分别为： 9. 576和162
10.3535本。解：由题目可知小明的书的册数是35的倍数, 设为35k, 可列出方程28k－5xk=（28－5x）k=303=3×101知k=101.
11. 分解质因数：884=4×13×17=17×52=68×13，884的因数中有4, 13, 52都具有3k+1形式，只有52=符合50人左右的题设，因此学生51人。
12. 灯的一次“改变”对应着它的编号的一个因子. 要使灯仍旧亮着需要奇数次“改变”．什么样的数有奇数个因子呢? 由定理1.26公式⑴知只有完全平方数! 200以内的完全平方数只有14个。即为答案. 此题也可先考虑10个灯泡。用归纳得出“只有完全平方数”的结论。 习题1-6部分习题解答 2.
3?77?1?1??3?7?, 代入得10。 2?7?3,?a????2,b??2?????2?22?3?7? ?2?试讨论?xy?与?x??y?的大小关系。3. 若x,y?R?,?1?求证：?xy???x??y?;证：?1??xy????x?＋?x??????y?＋?y?????x??y?＋?x??y?＋?x??y??? ???x??y???可见，三种情况都有。 4. 解方程：（1）3x?5解：?x???x??50?0
50?3x5y?50 是整数,设其为y.由原方程得x?53（2）原式化为
?x?2?x(x??x?)?0，整理后再由一元二次方程求根公式得
x?5. 15< x+ y<16.
??5?15?15?1x，与相乘后的积为整数，只能是x?。 2226. 25！=222×310× 56× 73×112×13×17×19×23. 由定理1.29公式求出各个质数的指数。 7.（1）??199?1??199?2???????97??97??199?96??? ??97?解： 原式??2?1??5?1??5?2?5?96?? ?2?2???2?96??????97??97?97????5?1??5?2??5?96??2?1?2?2??2?96???????97????97???97??
?5?1??5?19??5?20??9312????????97???97????97???5?78??5?96????????97???97??+…+0+19+40+57+76=9504.
（2）考虑?5?38??5?39??????97????97???5?58????97??=9312+0
1?11?2232?111?1??200821?22?31??1?????20072008??1
2007?2008?11??11??1??????????12??23??1?1?8. 1373个 . 9. 14人 . 10. 49盏 .
11?2223?1111?1??2。从而?2??222?20082008?23?1?=1. 2?2008?x??1??2?11. 高中时我们已知x?1?x?1??2x?1?x?1, ?2x?1?x??1时,?x???2,??2?x??1；
∴ －2≤ x<－1或 2≤ x<3或 x= －1/2 或 x= 0.
12. 解： 等式左边为73个数相加,而546?73?7?35.?7?x?8,
且可知等式左边从右向左有且只有满足x?由等式左边从右向左第35项x?习题2-1
5. 若69, 90和125关于某数 d 同余, 证明对于d, 81与 4同余. 证明：由69和90关于 d 同余, d | 90－ 69, d | 21,
90和125关于某数 d 同余, d | 125－ 90, d | 35, ∴ d | (21, 35) , d=1或7.
22
9. 由 (n, 8)=1可知,n为奇数. 设n=2k+1, n－1= 4k (k+1),8 | (n－1).
12. 4+1=5, 因此个位为4的2n, 加1后都能被5整除. 先考察n=1, 2, … , n 较小的情况:
个位为6的幂间隔4次得重复出现, 又6 ×4=24. 因此?24??4?1?24k?2?1能被5整除.
ky?8 10057?8移项得x?7.43. 10014.
+
即n=4k+2(k∈Z).
任意平方数的末位数字都不能是 2, 3, 7, 8的某一个.
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