3.已知直角三角形斜边与一直角边的差为 9，三边的长互质且和小于 88，求此直角三角形的三边的长 . 4.试证：不定方程 x4-4y4= z2没有正整数解 .
3. 设直角三角形的三边的长为x, y, z. 则由定理，x=a2－b2, y=2ab, z=a2+b2, 由题目得 a2+b2－(a2－b2)=9或a2+b2－2ab=9, 前者无整数解，后者(a－b)2=9, a－b=3. a=4,b=1,则 x=15，y=8，z= 17或a=5,b=2,则x= 21，y= 20，z= 29. a=7,b=4, 则三边的长的和大于88。
4. 因为 z4= (x4-4y4)2 = x8－8x4y4+ 16y8= (x4+ 4y4)－(2xy)4，即(2xy)4+ z4=(x4+4y4)2，就是说，如果x4-4y4=
2
z2有正整数解，则u4+v4= w2有正整数解，与已证定理矛盾，故无正整数解 . 5.试证：每个正整数 n 都可以写为n = x2+ y2- z2，这里 x，y，z都是整数 . 6.求方程 x2－dy2= 1，当 d = 0、d = －1、d < －1 时的非负整数解 . 7.试证：2x2+ y2+3z2=10t2无正整数解 .
5. 适当取正整数 x，使 n - x2= m 为一正奇数，设 y = m + 12 ，因为 y2- m =m -1()22= z2，得 n- x2= y－
2
z2.
6. 当 d= 0时，x=1，y为任意非负整数；当 d= -1时，x= 1，y=0和 x= 0，y= 1；当 d< - 1时，x= 1，y=0. 7. ∵y2+ 3z2是偶数，∴y与 z必同奇同偶 .若 y 与 z同为奇数，则 2x2+ y2+3z2被 8除和 10t2被 8 除的余数不相等，故 y 与 z一定同为偶数 .令 y= 2y1，z=2z1，代入原式得，x2+ 2y21+ 6z21= 5t，同样，x 和 t同奇同偶，也同样排除 x 和 t同奇，令 x= 2x1，t= 2t1，代入得，2x21+ y21+ 3z21= 10t21，由于 0< t1< t，矛盾，从而得证 . 习题 3-3
1. 求不定方程 4x2-4xy-3y2=21的正整数解 . 2. 求不定方程 x2+ y2=170的正整数解 . 3. 求不定方程 x2-18xy+35=0的正整数解 . 4. 求 4x2-2xy-12x+5y+11=0的正整数解 . 5. 求 x2+ xy-6=0的正整数解 . 6. 求 y- (x+3y)/(x+2) =1的正整数解 .
7. 设 n =7（mod 8），则 n 不能表示为 3个平方数的和 . 1. 由4x2－4xy－3y2= 21，得（2x+ y）（2x－3y）= 21. 得
2x+ y= 21， 2x+ y=7， 即 x= 8， x= 3， 2x- 3y=1， 2x- 3y= 3. y= 5， y= 1. 2. 由 x2+ y2=170知，x，y同为奇数或同为偶数.
x，y为偶数，则 x2+ y2有因数 4，而 170无 4因数；
x，y为奇数，设x =2k+1, y = 2h+1, 代入化简得k (k+1)+h (h+1) = 42, 仅当k = 0, h = 6或k = 0, h = 6时可求得：
x?35，x是 35的约数，得 x= 1，y= 2，或x=35，y=2. x64. 由原方程变为：y= 2x－1+ ，2x－5是 6的约数：± 1，±2，±3，±6，通过分析得 x=3，y=11或
2x?53. x2-18xy+ 35=0，得 18y= x=4，y=9.
5. x=1，y=51或 x= 2，y= 11.
6. 原方程变形为 y=2+ 4x- 1，可求得 x= 2，3，5，代入可求 y.
7. x2+ y2+ z2= n=7（mod 8），则 x，y，z必有一奇数 .由 x2≡1（mod 8），有
y2+ z2=6（mod 8），即y，z同奇同偶，同奇不成立，同为偶时，由 y≡4（mod8）产生矛盾 .
8. x2+ y2= p≡3（mod4），当 x，y≡0，± 1，2（mod4）时，x2+ y2≡0，1，2（mod 4）），这产生矛盾，命题得证 .
9. 由原方程组中 x+ y+ z=0得 z= - （x+ y），代入 x3+ y3+ z3= -18，则 xy（x+y）=6，故 xyz= -6，x、y、z都是 6的约数，并且只有一个是负数，可得其整数解 x= -3，y= 2，z= 1. 10. 通过证明 x2+ y2+ z2被 8整除所得的余数不等于 - 1即可 . 11. 通过证明 x3+ y3+ z3被 9整除所得的余数不等于 4即可 . 习题4-2(P138)
1．试写出三个模数是18的一次同余式，分别使它有唯一解，无解，有四个解。 2. 下列同余方程是否有解？为什么？如果有解，有多少个解？ （1）8x+5≡0（mod 23）；（2）15x+7≡0（mod 12）；
（3）34x≡0（mod 51）；（4）30x≡18（mod 114）；（5）174x≡65（mod 1309）. 3.用同解变形法解下列同余方程：（1）3x≡2（mod 7）；（2）9x≡12（mod 15）； （3）15x≡9（mod 6）； （4）20x≡44（mod 72）； （5）40x-191≡0（mod 6191）；（6）256x≡179（mod 337）. 4.用化为不定方程的方法解下列同余方程：
（1）20x≡4（mod 30）； （2）64x≡83（mod 105）； （3）57x≡87（mod 105）； （4）4x≡11（mod 15）； （5）47x≡89（mod 111）； （6）10x≡22（mod 36）. 5.利用欧拉定理解下列同余方程：
（1）6x≡22（mod 36）； （2）3x≡10（mod 29）； （3）258x≡131（mod 348）； （4）11x≡7（mod 13）； （5）3x≡2（mod 17）； （6）243x≡102（mod 551）. 6.用求组合数的方法解下列同余方程：
（1）5x≡13（mod 43）； （2）9x≡4（mod 2401）；
习题4-3(P154)
第2题a取什么值时，下面的同余方程组有解？
?x?5(mod18),?x?5(mod18),解：因为(18, 21)=3, 3|8－5，所以?有解；(18, 35)=1, 所以?总是有解。
x?8(mod21).x?a(mod35).??因此，要使题设的同余方程组有解，只需??x?a(mod35),有解。
?x?8(mod21).而这里，(21, 35)=7，由定理可知，只需a≡8≡1(mod 7). 即x = 1+7t ( t为整数 )，题设的同余方程组总有解。
3.解下列同余方程组：(1) ??x?3(mod7),?x?6(mod13),, (2) ?
?x?5(mod11).?x?7(mod24).?2x?4(mod8), ?15x?5(mod35).?(4)
?5x?7(mod11), (5) ?6x?9?0(mod19).?解：(1)方法一：设x=5+11y, 代入第一个同余方程，得11y≡3－5 (mod 7)， 得y≡3 (mod 7) 所以同余方程组的解是x≡38 (mod 77)。
方法二：用孙子定理解，M=77，M1=11，M2= 7，
令11 M1′≡1(mod 7)， 得M1′≡2(mod 7)， 7 M2′≡1(mod 11)，得M2′≡－3(mod 11)，
所以同余方程组的解是x≡11×2×3 + 7×(－3)×5≡－39≡38 (mod 77). (2) 方法一：设x=7+24y, 代入第一个同余方程，得24y≡6－7 (mod 13)， 得y≡7 (mod 13) 所以同余方程组的解是x≡7+24×7≡175 (mod 312)。
方法二：用孙子定理解，M=312，M1=24，M2= 13，
令24 M1′≡1(mod 13)， 得M1′≡6≡－7 (mod 13)，
13 M2′≡1(mod 24)，得M2′≡13(mod 24)，
所以同余方程组的解是x≡24×(－7)×6 + 13×13×7≡－1008+1183≡175 (mod 312). 第4题(1) (3) (4). 5．.解下列同余方程组：
（1） x≡8（mod 15）， （2） x≡6（mod 11），
x≡3（mod 10）， x≡3（mod 8）， x≡1（mod 8）； x≡11（mod 20）；
（3） x≡2（mod 35）， （4） 4x≡90（mod 105），
x≡9（mod 14）， 5x≡18（mod 63）， x≡7（mod 20）； 7x≡10（mod 50），
3x≡12（mod 22）
?x ? 2 ?解：（1）化为?x ? 3 ??x ?1?mod 3?,?mod 5?,用孙子定理解，M=120，M1=40，M2=24，M3=15， ?mod 8?.令40 M1′≡1(mod 3)， 得M1′≡1 (mod 3)；
24 M2′≡1(mod 5)， 得－M2′≡1(mod 5)，M2′≡－1(mod 5)； 15 M3′≡1(mod 8)， 得－M2′≡1(mod 8)，M2′≡－1(mod 8)
所以同余方程组的解是x≡40×2 + 24× (－1)×3 +15×(－1)×1 ≡ －7(mod 120).
?x ? 2 ?（3）化为?x ? 9 ??x ?3?mod 35?, ?,?mod1?mod 4?.??x ? 2 即??x ?3??mod 35?,
?mod 4?.用孙子定理解，M=140，M1=4，M2=35， 令4 M1′≡1(mod 35)， 得M1′≡9 (mod 35)；
35 M2′≡1(mod 4)， 得－M2′≡1(mod 4)，M2′≡－1(mod 4)；
所以同余方程组的解是x≡4×9×2 + 35× (－1)×3 ≡ －33 ≡ 107 (mod 140). 6. 解我国古代数学家杨辉在 1275 年所写的《续古摘奇算法》中的三个例题： （1）七数剩一，八数剩一，九数剩三，问本数； （2）十一数余三，十二数余二，十三数余一，问本数； （3）二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数.
??x ? 1 解：（1）???x ?3?mod 56?,
?mod 9?.方法一：设x=1+56y, 代入第二个同余方程，得
56y ≡ 3－1 (mod 13)，（56－54）y ≡ 2 (mod 13)
得y ≡ 1 (mod 13) y，所以，同余方程组的解是x≡57 (mod 504)。 方法二：用孙子定理解。
?x ? 3 ?（2）?x ? 2 ??x ?1 ?,?mod11 ?,用孙子定理解，M=1716，M1=156，M2=143，M3=132， ?mod12 ?.?mod13令156 M1′≡1(mod 11)， 得2M1′≡12(mod 11)，M1′≡6(mod 11)； 143 M2′≡1(mod 12)， 得－M2′≡1(mod 12)，M2′≡－1(mod 12)； 132 M3′≡1(mod 13)， 得2M2′≡－12(mod 13)，M2′≡－6(mod 13)
所以同余方程组的解是x≡156×6×3 + 143× (－1)×2 +132×(－6)×1 ≡ 14(mod 17). 法二：观察法。或累加试除法。
7. 设韩信所辖某部士兵共 26641人，在一次战斗中损失近百人. 休整时清查：1～3报数余 1，1～5报数余 3，1～ 7报数余 4. 问损失了多少人？
??x ? 1 ?mod 3?,解：设还有士兵x人，由题设，得同余方程组??x ? 3 ?mod 5?,x ?4
???mod 7?,?26541?x ?26600.由口诀，x≡70 + 21×3 + 15×4≡193+105×251≡ 26548 (mod 105) 26641－26548=93人。损失了93人。
??26641?x ? 1 ?mod 3?,?x ? 0 ?mod 3?,设损失了x人，得同余方程组??26641?x ? 3 ?mod 5?,??x ? 3 ?mod 5?26641?x ?4??mod 7?,化为??,
?x ?2?mod 7?0?x ?100.??,?0?x ?100.由口诀，x=21×3 + 15×2=93。损失了93人。
8. 求 7的倍数，使它分别被 2，3，4，5，6除时，余数都是 1. 解：设所求为7x, [2，3，4，5，6] =60，由题设，得7x ? 1 ?mod 60?,
用大衍求一术得x≡43 (mod 60), 7x=7×43=301， 故，所求为301+420t , t 为整数。 9. 求三个连续的自然数，使它们从小到大依次被 15，17，19 整除（写出其中最小的一组）.
解：由题设，得同余方程组???15x?1 ? 0 ?mod17 ?,??x ? 9 ?mod17 ?,??15x ?2?0?mod19 ?.化为标准形式为???x ?10?mod19 ?. 用孙子定理解，M=321，M1=19，M2=17，
令19 M1′≡1(mod 17)， 得M1′≡9(mod 17)， 17 M2′≡1(mod 19)， 得M2′≡9(mod 19)，
所以同余方程组的解是x≡19×(－8)×9 + 17×9×10 ≡ 162 (mod 321).
本题所求的三个连续的自然数是162×15，162×15+1，162×15+2，即2430，2431，2432。
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