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1?l?1； 41∴l的范围是[,1]。
41故答案为：[,1]。
4解得：
11．【答案】b－a=2
【解析】∵ ?1,a?b,a???0,∴ a+b=0，
??b?b,b?，∴ a+b=0或a=0（舍去，否则无意义）， a?ab??1，∴ －1∈?1,a?b,b?，a=－1， a∵ a+b=0，b=1，∴ b－a=2． 12．【答案】6
【解析】若1?A，因为1不是孤立元，所以2?A．设另一元素为k，假设k?3，此时A??1,2,k?，
k?1?A，且k?1?A，不合题意，故k?3．据此分析满足条件的集合为
?1,2,3?,?2,3,4?,?3,4,5?,?4,5,6?,?5,6,7?,?6,7,8?，共有6个．
13．【答案】?2,4,5?
【解析】由题意可知6?x是8的正约数，当6?x?1,x?5；当6?x?2,x?4； 当6?x?4,x?2；当6?x?8,x??2；而x?0，∴x?2,4,5，即 A??2,4,5?．
14．【答案】（1）a＞1；（2）0或1 【解析】（1）若A??，则只需ax2+2x+1=0无实数解，显然a≠0，所以只需Δ=4－4a＜0，即a＞1即可。
（2）当a=0时，原方程化为2x+1=0解得x??1；当a≠0时，只需Δ=4－4a=0，即a=1，故所2求a的值为0或1。
15．【解析】（1）若a?0时，则??4?4a?0，解得a?1，此时x??1．
1 2?a?0或a?1时，A中只有一个元素．
（2）①A中只有一个元素时，同上a?0或a?1．
若a?0时，则x??②A中有两个元素时，??a?0,，解得a?1且
???012．综上a?1．
（3）①a?0时，原方程为2x?1?0，得x??,符合题意；
②a?0时，方程ax?2x?1?0为一元二次方程，依题意??4?4a?0，解得a?1． 综上，实数a的取值范围是a?1或a?0．
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16．证明：（1）设a为任意奇数，则a?2k?1(k?z)，因为2k?1?k?(k?1),且k,k?1均为整数，?a?M．由a的任意性知，一切奇数属于M． （2）首先我们证明如下命题：
设：x,y?z，则x?y与x?y具有相同的奇偶性．
以下用反证法证明．
假设(4k?2)?M，则存在x,y?z，使得x?y?4k?2?(x?y)(x?y)?2(2k?1)．若x?y与（ x?y）必定为奇数，而2(2k?1)表示偶数，矛盾；若x?y与x?y同为x?y同为奇数，则（x?y）
偶数，则（x?y）（ x?y）必定被4整除，但2(2k?1)表示不能被4整除的偶数，也导致矛盾．
综上所述，形如
的偶数不属于M．
22222222（3）设a,b?M，则存在x1,y1,x2,y2?z，使得a?x1?y1,b?x2?y2．
ab?(x12?y12)(x22?y22)
22222222 =x1x2?y1y2?2x1x2y1y2?2x1x2y1y2?x1y2?x2y1 22 =(x1x2?y1y2)?(x1y2?x2y1)，
又因为x1x2?y1y2，x1y2?x2y1均为整数，
?ab?M．
集合的基本关系及运算
【学习目标】
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．
2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 【要点梳理】
要点一、集合之间的关系
1.集合与集合之间的“包含”关系
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；
子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：A?B(或B?A)，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：A?B(或B?A)
要点诠释：
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（1）“A是B的子集”的含义是：A的任何一个元素都是B的元素，即由任意的x?A，能推出x?B． （2）当A不是B的子集时，我们记作“A?B(或B?A)”，读作：“A不包含于B”（或“B不包含）． A”
真子集：若集合A?B，存在元素x?B且x?A，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作：AB(或BA)
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系
A?B且B?A，则A与B中的元素是一样的，因此A=B
要点诠释：
任何一个集合是它本身的子集，记作A?A．
要点二、集合的运算 1.并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|x?A，或x?B}
Venn图表示：
要点诠释：
B,但xA?（1）“x?A，或x?B”包含三种情况：“x?A,但x?B”；“x?A,且xB?”；“x?”．
（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现
一次).
2.交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|x?A，且x?B}；交集的Venn图表示：
要点诠释：
（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是AB??．
（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．
（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合. 3.补集
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全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：痧UA；即UA={x|x?U且x?A}；补集的Venn图表示：
要点诠释：
（1）理解补集概念时，应注意补集eUA是对给定的集合A和U(A?U)相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合U，补集不同．
（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z为全集；而当问题扩展到实数集时，则R为全集，这时Z就不是全集．
（3）eUA表示U为全集时A的补集，如果全集换成其他集合（如R）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即eRA）．
4.集合基本运算的一些结论
A?B?A，A?B?B，A?A=A，A??=?，A?B=B?A
A?A?B，B?A?B，A?A=A，A??=A，A?B=B?A
(痧(UA)?A=? UA)?A=U，若A∩B=A，则A?B，反之也成立 若A∪B=B，则A?B，反之也成立
若x?(A∩B)，则x?A且x?B 若x?(A∪B)，则x?A，或x?B
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题】
类型一、集合间的关系
例1. 集合A??a|a?2k,k?N?，集合B??b|b???1?n2??1?(?1)?(n?1),n?N?，那么A,B间的??8?关系是（ ）.
A. AB B. BA C. A=B D.以上都不对 【答案】B
【解析】先用列举法表示集合A、B，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合A是非负偶数集，
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?0(n为非负偶数时)，1?n2?即A??0,2,4,6,8,????.集合B中的元素b??.而1?(?1)?(n?1)??1??8(n?1)(n?1)(n为正奇数时)??41(n?1)(n?1)（n为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即n?1,3,5,7,???.由41(n?1)(n?1)依次得0,2,6,12，???，即B??0，2，612，，20，????. 4综上知，BA，应选B.
【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.
举一反三：
【变式1】若集合A??x|x?2k?1,k?z?,B??x|x?4l?1,l?z?，则（ ）. A. AB B. BA C. A=B D.AB?Z
【答案】C
例2. 写出集合{a，b，c}的所有不同的子集.
【解析】不含任何元素子集为?，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，
3
b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共有2=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，
4
会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有2=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合
n
共有2个不同的子集.
【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：?和它本身.
举一反三： 【变式1】已知?a,b??A?a,b,c,d,e?，则这样的集合A有 个.
【答案】7个 【变式2】（2016 湛江一模）已知集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D
【解析】∵ 集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y∈A}，
∴B={（1，1），（1，2），（2，1）} ∴B的子集个数为：23=8个． 故选D．
2222
例3．集合A={x|y=x+1}，B={y|y=x+1}，C={(x,y)|y=x+1}，D={y=x+1}是否表示同一集合？ 【答案】以上四个集合都不相同
22
【解析】集合A={x|y=x+1}的代表元素为x，故集合A表示的是函数y=x+1中自变量x的取值范围，即函数的定义域A=(??,??)；
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