习题四
1?设随机变量X的分布律为 X P 1/8 2求 E (X), E (X), E (2X+3).
0 1/2 1 1/8 2 1/4 1
【解】(1) E(X)=(-1)
2
1 0
2 1
1 8
2
1 1 4 2
;
8
2
1 2 1 2
(2) E(X2) =(-1)2 - 02 — 12
8 2
1
(3) E(2X 3) =2E(X) 3 = 2 —
1 2〔5 - 22 ; 8 4 4 3 = 4
2
2?已知100个产品中有10个次品，求任意取出的 5个产品中的次品数的数学期望、方差 【解】设任取出的5个产品中的次品数为 X，则X的分布律为 X 0 P 1 2 3 4 5 905 =0.583 C；00 C5 呼=0.340 C；00 。3C2 C 10905 =0.070 冼0 C3 C2 =0.007 C00 2
0. 007
3
CM。0 5 - = 0 C100 C5 晋=0 C100 故 E(X)= 0.583 0 0. 34 0 1 0.070
-0.501,
5
2
D(X)八[Xi -E(X)] P
i=Q
=(0 -0.501)2 0.583 (1-0.501)2 0.340 ：：；■…川(5 - 0.501)2 0 = 0.432.
3?设随机变量X的分布律为 X 7 0 1 P3 P P1 P2 2且已知 E(X)=0.1,E(X)=0.9,求 P1, P2, P3.
【解】因R+P2+F3=1……①，
又 E(X)=(—1)R +0畀十1^ = P3 —P =0.1 ……②，
E(X2) =(—1)2 勒 +02电+12匪=只+巳=0.9……
由①②③联立解得 P =O.4,P2 =0.1,P3=0.5.
4.袋中有N只球，其中的白球数 X为一随机变量，已知 E (X) =n,问从袋中任取1球为白 球的概率是多少？ 【解】记A=｛从袋中任取1球为白球｝，则
1
N
P(A)全概率公式' P{A|X 二 k}_P{X =k}
7
N
k
P{X =k}
1 N kP{X = k}
7 N N k」
=1 ^n
N
￡(X
N
5?设随机变量X的概率密度为
x, 0 乞 x ：： 1,
f (x)=」2 —x,1 兰x 兰2,
0,其他.
求 E (X), D (X). -be
1 【解】E(X)
xf (x)dx = °2
2
x dx 亠 I x(2「x)dx
2
- - 2
1
E(X ) x f (x)dx x dx
3
2
2
亠 I x (2-x)dx =
0 1
故
D
(X)=E(X2)
—
[E(X)]2
T
6?设随机变量 X，Y, Z相互独立，且 E(X)=5，E( Y) =11，E(Z)=8，求下列随机变量的数学期望?
(1) U=2X+3Y+1 ； (2)
V=YZ -4X.
【解】(1) E[U ] = E(2X +3Y+1) = 2E(X)+3E(Y)+1
=2 5 3 11 1 = 44.
(2) E[V] =E[YZ _4X] =E[YZ] _4E(X)
因Y,Z独立E(Y) _E(Z) -4E(X)
=11 8-4 5 = 68.
7?设随机变量 X，Y 相互独立，且 E( X)=E( Y)=3 ,D( X)=12，D( Y)=16,求 E( 3X
2Y)，
D (2X -3Y).
【解】(1) E(3X -2Y) =3E(X)-2E(Y) =3 3-2 3 =3.
2 2
(2) D(2X -3Y) =2 D(X) (-3) DY = 4 12 9 16=192. 8?设随机变量(X，Y)的概率密度为
-
2
f (X, y)
y 其他. 0, 1,0
x,
试确定常数k,并求E (XY). 1 X 1 ,, k
0 ：： x ::
：：：：
【解】因 f(x, y)dxdy 二 dx kdy k =1,故 k=2 o
旳 2
:::: 1 x
E(XY)二 xyf(x,y)dxdy xdx 2ydy = 0.25. 0 -0
9. 设X, Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 fX( x)“ 2x, 0 乞 x 岂 1,
1^4“)，
y 5, 0, ；
fY( y)= i y
其他 0, 其他? 求 E (XY).
【解】方法一：先求X与Y的均值
1
2 E(X)= 0 x2xdx 3
3 ,
令 E(Y)=j _￡v 5 )5 y g
址y^= z=y_5 址5 丄
ezidj\.
0z
z=d+ 5 1 6.
由X与Y的独立性，得
E(XY) =E(X)_E(Y) =2 6=4.
3
方法二：利用随机变量函数的均值公式
.因X与Y独立，故联合密度为
4y^) 2xe72, 0 _ x _1,y 5,
“沪皿閱⑶科。，
其他，
E(XY)
,W ,1
xy -2xe
/ y _c)
dxdy
1
(v-5)
°2x dx? ye dy 6 2
二 4.
2 3
10.设随机变量 X，Y的概率密度分别为
2e , x a 心 y>0,
fX( x)= * 0,
fy (y) = * x
兰0; y乞0.
求(1) E(X+Y);( 2) E( 2X WY2).
【解】(X)二 ._xfx(x)dx. x_2e'xdx 二[-xe'x]0「 0 e-2 0 ： e“dx= 1. 0 2 -He +oc E(Y)二―yf ( yd-oO 0y -g 2 勺° 2 \2 4 2 E(Y )y fY( y)dy「° y ^^y d^4^ 1 1 3 从而(1)E(X Y)二E(X) E(Y) 2 4 4 . 3 (2)E(2X -3Y ) =2E(X) -3E(Y )=2 11. 设随机变量X的概率密度为 r 2 2 115 -3 2 8 8 x _ 0, x ： cxe _k2x2 f (x) 求(1)系数 c; (2) E (X) ; (3) D (X). 2 2 =< 0, 【解】(1)由 f (x)dx = o cxe 上 ％ dx 厂1 得 c = 2k2 . (2) E(X)二 xf(x)d(x) = o x2k xe dx :: :: 2 k2x2 2k 2 ：20 '.xe^ dx 丰k2 x2 E(xr 2 n -be r -- 2 2 -::x (x)d(x)二 o x2 -2k2xe 2 2 1 k 厂 D(X)二E(X )-[E(X)] 4k X，求E (X)和D (X). X的可能取值为0, 1, 2, 12. 袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品?安装机器时，从袋中一个一个地取出(取 出后不放 回)，设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量 【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则 3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知 P{X =0} 0. 9 7 50, X P 于得到X的概率分布表如下： 是， 0 0.750 12 3 2 P{X =2}= ■: < 1 2 1 1 9 -0. 04 1, 1 0 _9 _ 0.204, 12 11 3 2 1 9 X 浜=0.005 P{X 3}= 12 11 10 9 1}P{X = = 1 0.204 2 0.041 3 0.005 由此可得 E(X)=0 0.750 1 0.204 2 0.041 3 0.005 =0.301. E(X2)=02 750 12 0.204 22 0.041 32 0.005= 0.413 D(X)二 E(X2)-[E(X)]2 =0.413-(0.301)2 =0.322. 13. 一工厂生产某种设备的寿命 X (以年计)服从指数分布，概率密度为 =1 e 4 f (x) 0, x 0, x乞0. .若售出一台设备, . 为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换 【解】厂方出售一台设备净盈利 Y只有两个值：100元和-200元 工厂获利100元，而调换一台则损失 200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望 4 PWg pX—}1 ::1 4 /4 P{Y= -200}=P X < 1> e 故 E(Y) =100 e」/ 4 (—200) (1 -e」/ 4) = 300e」/ 4 -200 = 33.64 (元). 14?设X1, X2,…，Xn是相互独立的随机变量，且有 E (X i=1, 2,…, i) 盒n,记 n J i 丄 Xi,S2 , 臭丄n v n -1 (X2i -X). (1) 验证 E(X) = u, D(X) CJ2 n ； n (2) 验证 S2 = —c Xi 2 n -1 i4 -nX )—2 ; (3) 验证 E (S2) =2. 【证】(1) E(X)=E 口 Xi ,1. n 1 5「丿 Xi) n y E(Xi) n ru = u. D(X) 1 Xi)Xi之间相互独立 — DXi i=1 n i m n —2 -2 — n (Xi -X)2 八(Xi2 iXi2 nX -2X' Xi i 二 X -2XX)八 im i d n 八X— i2 X： - nX i * 2 -2X /X 八 nX n 故 s 2 2 —2 n T c Xi -nX ). i =1 ⑶ 因 E(XJ 二u,D(XJ 乂2,故 E(X：) = D(Xi) (EXJ2 *2 u2. 2 2 C 2 同理因E(X) 2 二u,D(X) ，故 E(X ) 2 . n n u从而 5
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