北京市东城区2019学年度第二学期综合练习（一）
高三数学 （理科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项。
（1）已知全集U?{1,2,3,4}，集合A?{1,2}，那么集合eUA为
（A）{3} （B） {3,4}
（C）{1,2} （D）{2,3}
（2）已知ABCD为平行四边形，若向量AB?a，AC?b，则向量BC为
（A）a?b （B）a+b （C）b?a （D）?a?b
?x?t?3,（3）已知圆的方程为(x?1)?(y?2)?4，那么该圆圆心到直线?（t为参数）的距离为
y?t?1?22
（A）263236 （B） （C） （D） 2222（4）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于
1，则成绩为2111及格；若飞标到圆心的距离小于，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于且小于，则
442成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为
（A）
3131 （B） （C） （D） 164416（5）已知数列{an}中，a1?2，an?1?2an?0，bn?log2an，那么数列{bn}的前10项和等于
（A）130 （B）120 （C）55 （D）50
x2y2（6）已知F1(?c,0)，F2(c,0)分别是双曲线C1：2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点，双曲线C1ab·1·
和圆C2：x?y?c的一个交点为P，且2?PF1F2??PF2F1，那么双曲线C1的离心率为
222（A）5 2 （B）3 （C）2
（D）3?1
x（7）已知定义在R上的函数f(x)的对称轴为x??3，且当x??3时，f(x)?2?3.若函数f(x)在区间(k?1,k)（k?Z）上有零点，则k的值为
（A）2或?7 （B）2或?8 （C）1或?7 （D）1或?8
（8）已知向量OA，AB，O是坐标原点，若AB?kOA，且AB方向是沿OA的方向绕着A点
按逆时针方向旋转?角得到的，则称OA经过一次(?,k)变换得到AB.现有向量OA=(1,1)经过一次(?1,k1)变换后得到AA1，AA1经过一次(?2,k2)变换后得到A1A2，…，如此下去，
An?2An?1经过一次(?n,kn)变换后得到An?1An.设An?1An?(x,y)，?n?则y?x等于
11k?，，nn?1cos?n2112sin[2?()n?1]2sin[2?()n?1]22（A） （B） 1111sin1sinsinn?1cos1coscosn?12222112cos[2?()n?1]2cos[2?()n?1]22（C） （D） 1111sin1sinsinn?1cos1coscosn?12222
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
·2·
（9）复数z?(2?i)i的虚部是 .
（10）(x?)的展开式中x的系数是 ．
（11）如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，
则甲5次测试成绩的平均数是 ，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是 ．
（12）如图，已知PA与圆O相切于A，半径OC?OP，AC交
A22x63PO于B，若OC?1,OP?2，则PA? ，PB? ．
（13）有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，
丙不排在两头，则这样的排法共有 种．
（14）数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一
n行增加两项，若an?a(a?0)， 则位于第10行的第8列的项
OBPC等于 ，a2013在图中位于 ．（填第几行的第几列）
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）
在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA?3acosB． （Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若b?23，求ac的最大值．
（16）（本小题共14分）
如图，已知ACDE是直角梯形，且ED//AC，平面ACDE?平面ABC，
?BAC??ACD?90?，AB?AC?AE?2，ED?（Ⅰ）求证：DP//平面EAB；
（Ⅱ）求平面EBD与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
1AB， P是BC的中点． 2大小
·3·
（17）（本小题共13分）
某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次.
（Ⅰ）求所得奖品个数达到最大时的概率；
（Ⅱ）记奖品个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.
（18）（本小题共14分）
已知函数f(x)?(x?ax?a)e（Ⅰ）当a?0时，求f?(2)；
（Ⅱ）若f(x)在x?0时取得极小值，试确定a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设由f(x)的极大值构成的函数为g(a)，将a换元为x，试判断曲线
2?x，（a为常数，e为自然对数的底）．
y?g(x)是否能与直线3x?2y?m?0（ m为确定的常数）相切，并说明理由．
（19）（本小题共13分）
x2y21已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与
ab2椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值．
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