第二章因式分解
知识点1：分解因式的定义
1．分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。
如： 判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式：
?9?8x?(x?3)(x?3)?8（ ） ② 9x2?4y2?(9x?4y)(9x?4y) （ ）
222③ (x?3)(x?3)?x?9 （ ） ④xy?2xy?xy?xy(x?2y) （ ）
①x知识点2：公因式
公因式： 定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 公因式的确定：
（1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号） （2）系数：取系数的最大公约数；（3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的； （4）所有这些因式的乘积即为公因式； 例如：
1．多项式 -3ab?6abx?9aby 的公因式是_________
322322．多项式?8abc?16ab?24abc分解因式时，应提取的公因式是（ ） 2A．?4abc
2B．?8ab
23C．2ab
333D．24abc
3. x(m?n)?y(n?m)4?(m?n)3的公因式是__________
知识点3：用提公因式法分解因式
提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 例如：
n?1n?1n3224431.可以直接提公因式的类型：（1）9ab?6ab?12ab=________________；（2）a?a?a=____________
（3）x(a?b)2?y(a?b)4?(a?b)5=_____________
（4）不解方程组?2x?y?3，求代数式(2x?y)(2x?3y)?3x(2x?y)的值
??5x?3y??22.式子的第一项为负号的类型：
（1）①?4x2y?6x2y2?8x3y3 =_______________ ②?4(m?n)3?8(m?n)4?12(m?n)2=_______ （2）若被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解（特别是用到平方差公式时） 如： ?8x2?18y2
练习：1．多项式:?6ab?18abx?24aby的一个因式是?6ab,那么另一个因式是( )
A..?1?3x?4y B..1?3x?4y C ?1?3x?4y D..1?3x?4y
2.分解因式－5(y－x)－10y(y－x) 3. 公因式只相差符号的类型：
公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。（若同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次里面的字母的位置，如
655 (x?y)6-(y?x)5?（y-x）（-y-x）?（y-x）（y-x-1）33
例：( 1)（b－a）2+a（a－b）+b（b－a） ( 2)（a+b－c）（a－b+c）+（b－a+c）·（b－a－c） （3）a(a?b)3?2a2(b?a)2?2ab(b?a) 练习：
1．把多项式m(a-2)+m(2-a)分解因式等于（ ）
(A)(a-2)(m+m) (B)(a-2)(m-m) (C)m(a-2)(m-1) (D)m(a-2)(m+1) 2．多项式x(y?3)?x3(3?y)的分解因式结果（ ）
A．(y?3)(x?x3) B．(y?3)(x?x3) C．x(y?3)(1?x2) D．x(y?3)(1?x)
2
2
2
3．分解因式：
（1）m(x?y)?n(y?x)?(x?y)(________) （2）－6(x－y)－3y(y－x) 知识点4公式法分解因式
如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。 一、平方差公式分解因式法
平方差公式：两个数的平方差，等于这两个的和与这两个数的差的积。 即a-b=(a+b)(a-b)
特点：a.是一个二项式，每项都可以化成整式的平方. b.两项的符号相反. 例如：
1、判断能否用平方差公式的类型
．（1）下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）
(A)-a+b (B)-x-y (C)49xy-z (D)16m-25np
（2）．下列各式中，能用平方差分解因式的是（ ）A． x2?y2 B．?x2?y2 C．x2?xy2 D．1?y2 2、直接用平方差的类型（1） 16x2?9y2 （2）?25x2?1 （3）x4?1 3、整体的类型：（1）(m?n)2?n2 （2）?(x?y)2?(2x?3y)2
4、提公因式法和平方差公式结合运用的类型(1)m—4m= ．(2)a3?a? ． 练习：将下列各式分解因式 （1）?x2?1?2?4x2
(2)100x－81y；
2
2
3
2
2
2
2
22
2
4
22
2
2
4
5
(3)9(a－b)－(x－y)；
22
（4）a?a5 （5）?x3?9x （6）(m?n)3?(m?n)（7）(2x?y)?4(2x?y)3 二、完全平方式分解因式法
完全平方公式：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。即
a+2ab+b=(a+b) ; a-2ab+b=(a-b)
特点：（1）多项式是三项式；
（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式； （3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.
1、判断一个多项式是否可用完全平方公式进行因式分解
如：下列多项式能分解因式的是（ ）A．x2?y B．x2?y2 C．x2?y2?y D．x2?6x?9
2、关于求式子中的未知数的问题
如：1．若多项式x2?kx?16是完全平方式，则k的值为（ ）A．—4 B．4 C．±8 D．±4 2．若9x2?6x?k是关于x的完全平方式，则k= 3.若x2?2(m?3)x?49是关于x的完全平方式则m=__________
?4x?12xy?9y3、直接用完全平方公式分解因式的类型 (1)x?8x?16； (2)； (3)
2222222
22424x2m?mn?n2?xy?y2934； (4)
4、整体用完全平方式的类型
(1)(x－2)＋12(x－2)＋36； （2） 9?6(a?b)?(a?b)
2
25、用提公因式法和完全平方公式分解因式的类型 (1)-4x+16x-16x； (2)（3）已知：ab?1,x?y?2，求3abx2?3aby2?6xyab的值
32
122
axy+2axy+2a 2练习：分解因式（1）x2?4x?4 （2） a2x2?16ax?64 （3） a4?8a2b2?16b4
322（4）(x?y)2?14(x?y)?49 （5）9?6(a?b)?(a?b)2 （7）2x2?2x?1
（6）3x?12xy?12xy2
知识点5、十字相乘法分解因式
．十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式：（x+a）（x+b） =x式，这种分解因式的方法叫做十字相乘法。
如:分解因式：
22
① x2?7x?10 ② 2x2?5x?3 (3) a+6ab+5 b (4) x+5x+6 (5) x-5x+6 (6) x-5x-6 练习：
(1) x+7x+12 (2) x-8x+12 (3) x-x-12 (4) x+4x-12
(5) y+23y+22 (6) x-8x-20 (7) x+9x y-36 y (4) x+5x-6
知识点6、分组的方法分解因式
42234如(1) m?4m?5?20m (2) ?4x?y?4x?1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2?(a?b)x?ab，用来把某些多项式分解因
练习：（1）9a2?4b2?4bc?c2（2）x3?3x2?4x?12 （3）x2?2x?6y?9y2（4）9x2?y2?4y?4 （5）xy2?2xy?2y?4
小结
因式分解的常规方法和方法运用的程序，可用“一提二公三叉四分”这句话来概括。
“一提”是指首先考虑提取公因式；“二公”即然后考虑运用公式（两项用平方差公式或立方和、立方差公式，三项的用完全和平方、差平方公式）；“三叉”就是二次三项式能否进行十字相乘法；“四分”是四项以上考虑分组分解法。
分解因式单元练习
一、选择题（每题4分，共40分）
1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）
（A）2?a?b??2a?2b （B）m2?1??m?1??m?1?（C）x2?2x?1?x?x?2??1 （D）a?a?b??b?1???a2?ab??b?1? 2．把多项式－8ab＋16abc－24abc分解因式，应提的公因式是( )， （A）－8abc （B） 2abc （C）－4abc （D） 24abc 3．下列因式分解中，正确的是（ ）
（A）3m2?6m?m?3m?6? （B）a2b?ab?a?a?ab?b?（C）?x2?2xy?y2???x?y?2 （D）x2?y2??x?y?2 4．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ）（A）a2?4 （B）a2?2 （C）?a2?4（D）?a2?4 5．把－6(x－y)－3y(y－x)分解因式，结果是( )．
（A）－3(x－y)(2＋y) （B） －(x－y)(6－3y)（C）3(x－y)(y＋2) （D） 3(x－y)(y－2) 6．下列各式变形正确的是（ ）
（A）?a?b???a?b? （B）b?a???a?b?（C）??a?b?2???a?b?2 （D）?b?a?2???a?b?2 7．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )．
122222
（A）4x－1 （B）4x＋4x－1 （C）x－xy＋y D．x－x＋ [21世纪教育网
2
3
3
3
3
3
3
2
223
333
23
222
3
3
8．因式分解4＋a－4a正确的是( )．（A）(2－a) （B）4(1－a)＋a（C） (2－a)(2－a)（D） (2＋a) 9．若4x2?mx?9是完全平方式，则m的值是（ ）（A）3 （B）4 （C）12（D）±12 10．已知a?b??3，ab?2，则?a?b?2的值是（ ）。（A）1（B）4 （C）16 （D）9 二、填空题（每题4分，共20分）21世纪教育网
1．4a2b?10ab分解因式时，应提取的公因式是 .
22222
2．am?bm?m??；?x?1????；a?b?c?a???.
3．多项式x2?9与x2?6x?9的公因式是 .4．利用因式分解计算：2012?1992? . 5．如果a＋ma＋121是一个完全平方式，那么m＝________或_______。 三、解答题:
1．将下列各式因式分解:（每题5分，共40分）21世纪教育网
(1) ?14abc?7ab?49ab2c； (2)a(x＋y)＋(a－b)(x＋y)；(3)100x－81y；(4)9(a－b)－(x－y)；
(5)(x－2)＋12(x－2)＋36； (6)m?x?y?2?x?y
2.（满分10分）已知：a+b=3,x-y=1,求a+2ab+b
2008223．（满分10分）已知a－b＝2005，ab＝ ，求ab－ab的值。
2005
1、用提公因式法把多项式进行因式分解
【知识精读】
如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 【分类解析】
1. 把下列各式因式分解 （1）?a2xm?2?abxm?1?acxm?axm?3 （2）a(a?b)3?2a2(b?a)2?2ab(b?a) 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”
222
2
2
2
2
2
（7）3x3?12x2y?12xy2
（8）?x2?1?2?4x2
-x+y的值.
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